|
OF1: Problemas elementares divertidos e desafiadores
Proporei alguns problemas do meu livro “É divertido
resolver problemas” para grupos de 4 a 5 “alunos”.
Após as discussões que se seguirão mostrarei
as soluções e farei algumas observações.
Retornar
OF2: GroupExplorer: um software (gratuito) para
a exploração visual da teoria de grupos.
É senso comum que um curso em teoria de grupos seja conduzido,
por via de regra, com pouco ou nenhum uso de figuras. Acreditando
que o emprego de recursos visuais e de interação gráfica
aliado aos métodos tradicionais (definições,
teoremas e demonstrações) possa proporcionar uma nova
perspectiva no ensino e aprendizagem da teoria de grupos, os pesquisadores
Nathan Carter, Douglas Hofstadter e Brad Emmons, da Universidade
de Indiana em Bloomington (EUA), confeccionaram o GroupExplorer
, um software gratuito para a exploração visual da
teoria de grupos (http://neville.math.indiana.edu/~nathan/groupexplorer).
O programa permite que o usuário interaja diretamente com
o diagrama de Cayley de um grupo, manipulando e percebendo visualmente
a ação combinada de cada gerador (a figura 1 mostra
o programa com o grupo S3 carregado). Além do diagrama de
Cayley, o usuário também pode ver a representação
simultânea dos elementos do grupo como uma permutação
ou em uma tabela multiplicativa.O programa vai mais além:
para cada grupo, é possível exibir os objetos de simetria
(isto é, objetos que são invariantes pela ação
do grupo), o centro do grupo, o subgrupo dos comutadores, a classe
de conjugação de um elemento, o centralizador de um
elemento, as classes laterais, o normalizador de um subgrupo e subgrupos
definidos pelo usuário (neste sentido, GroupExplorer também
funciona como uma excelente calculadora!). Com estes recursos, o
software oferece um aparato visual sofisticado para a exploração
dos vários conceitos e idéias da teoria básica
de grupos: grupos comutativos, grupos simples, grupos cíclicos,
classes laterais, subgrupos normais, grupos quocientes, o teorema
de Lagrange, o teorema fundamental dos grupos abelianos, o primeiro
teorema de Sylow. Com o software, o aluno dispõe de um ambiente
onde ele pode conjecturar propriedades e encontrar contra-exemplos!
Neste trabalho, pretendemos apresentar a comunidade acadêmica
o programa, seus recursos, potencialidades e, também, compartilhar
a experiência do uso do GroupExplorer em um curso de teoria
de grupos para alunos do curso de matemática.
Retornar
OF3: Um software de domínio público
– MPP – como apoio pedagógico no ensino da Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral de funções reais
de uma ou duas variáveis reais.
Obtenção do gráfico de funções
de uma ou duas variáveis. Construções gráficas
de soluções de equações f(x,y)=0. Retas
tangentes a gráficos de funções definidas implicitamente.
Vetores gradientes (visualização). Curvas de nível
(visualização). Integrais de funções
de uma variável. Visualização dos métodos.
Integrais iteradas. Visualização das regiões
de integração. Em coordenadas cartesianas e polares.
Planos tangentes. Integrais triplas. Somas finitas de muitas parcelas.
Retornar
OF4: Planificação de pirâmides
e de prismas oblíquos
A construção de um modelo concreto de um poliedro
pode ser obtida a partir de uma planificação do referido
poliedro, seguida de cortes, dobraduras e colagens adequadas. Essa
oficina apresentará planificações de pirâmides
e prismas, que tenham como base polígonos convexos, determinando
as medidas necessárias para essas planificações.
Supõe-se que são conhecidas as medidas das arestas
laterais ou da altura e a projeção dos vértices
no plano da base. Tendo em vista que as faces laterais de pirâmides
e prismas são, respectivamente, triângulos e paralelogramos,
inicialmente, será lembrado o processo de construção
desses polígonos, com régua e compasso, utilizando
como medida números aproximados por racionais. Após
a apresentação de cada método de planificação,
os participantes construirão os modelos concretos correspondentes.
Retornar
OF5: Construção de Superfícies
com a Técnica de Papietã
Equações de curvas na forma paramétrica, equações
de superfícies na foram implícita. Comandos do software
MAPLE V para traçados de curvas. É muito interessante
poder contar com modelos concretos como recurso didático,
principalmente para ilustrar aulas que envolvem superfícies.
Esses modelos, por serem tridimensionais, trazem o aperfeiçoamento
da visão geométrica. Essa Oficina propõe a
construção de modelos concretos que representam superfícies,
utilizando a técnica artística de papietã.
Os participantes terão a oportunidade de experimentar cada
etapa da construção desde a construção
dos moldes até a arte final dos modelos. Serão apresentada,
também, a utilização dos modelos na Geometria
Analítica, no Cálculo e na Geometria Diferencial.A
construção dos modelos valoriza o conhecimento matemático
e utiliza recursos computacionais, contando também com a
criatividade, visando a obtenção de objetos que se
aproximem ao máximo da realidade, numa bela integração
da Matemática com a Arte.
Retornar
OF6: Construção
de modelo de sólido com área de seções
planas paralelas conhecida
Cálculo de volume de sólido com seções
planas paralelas de área conhecida. Comandos do Maple V:
traçado de curvas e polígonos no plano. Serão
apresentadas as teorias relativas ao cálculo de volume de
sólido com seções planas paralelas de área
conhecida e à construção das seções
planas dos modelos com utilização do software MAPLE
V. Em seguida cada participante receberá as seções
planas previamente traçadas no Maple V, placas de isopor
e material necessário para conclusão da técnica
de construção do modelo. O processo de construção
do sólido será assessorado pela artista plástica.
Retornar
OF7:Isometrias do plano e construção
de modelos concretos com superfícies cilíndricas
circulares e parabólicas
A construção de uma superfície cilíndrica
pode ser feita modelando, sem distorcer, um material considerado
plano como papel, cartolina, acetato ou outro material similar,
baseando-se na geratriz. Apesar da facilidade de construção
de uma superfície cilíndrica, para construir modelos
que envolvem mais de uma dessas superfícies, é importante
conhecer as equações das curvas de interseção
e as parametrizações das superfícies envolvidas
que são isometrias com o plano. Essa oficina apresenta isometrias
do plano com algumas superfícies cilíndricas e as
parametrizações no plano das curvas de interseção.
Desse modo, cortes podem ser efetuados no material plano que após
modelagem, proporcionam encaixes perfeitos para montagem de modelos
concretos no espaço físico tridimensional. Serão
vistos conceitos de curvas e superfícies parametrizadas,
função comprimento de arco e a noção
intuitiva de isometria entre superfícies, sem os aprofundamentos
de Geometria Diferencial com os coeficientes da 1ª forma quadrática.Será
apresentado o método de construção dos modelos:
Dois cilindros circulares retos que se intersectam e sólido
limitado cujas seções paralelas são quadrados;
dois cilindros circulares oblíquos que se intersectam e sólido
limitado cujas seções paralelas são losangos;
superfície cilíndrica parabólica e planos que
se intersectam limitando o sólido no 1º octante; duas
superfícies cilíndricas parabólicas e planos
que se intersectam limitando o sólido no 1º octante.
Será apresentada, também, a utilização
dos modelos no cálculo de volume usando integral dupla. Os participantes terão a oportunidade de construir modelos concretos,
utilizando acetato e papel e de ver a utilização dos
modelos. Para viabilizar essa construção, as curvas
serão impressas previamente.
Retornar
OF8: Construção de modelos para
o estudo de áreas de figuras planas e aplicações.
A partir da axiomatização da área do quadrado
de lado com medida igual a uma unidade de comprimento pode-se estabelecer
fórmulas para o cálculo das áreas de outros
polígonos. Esta oficina apresenta esse resultado com modelos
concretos construídos com material de pequena espessura.
Os participantes, utilizando os conhecimentos de áreas trabalhados,
terão oportunidade de construir modelos concretos para demonstrar
e ou, ilustrar propriedades geométricas e algébricas,
tais como: Teorema de Pitágoras., Teorema de Tales., Teorema
da bissetriz interna., As relações métricas
em um triângulo retângulo., Produtos notáveis:
quadrado da soma, quadrado da diferença e produto da soma
pela diferença.
Retornar
OF9: Construção de modelos para
o estudo de volumes de prismas e aplicações.
Utilizando a noção intuitiva de que o volume de um
sólido é a quantidade de espaço por ele ocupado,
axiomatizaremos o volume de um cubo de aresta medindo uma unidade
de comprimento e em seguida deduziremos as fórmulas dos volumes
de um cubo qualquer, de um bloco retangular e de um prima. Esta
oficina apresenta esses resultados com modelos concretos construídos
com materiais de fácil aquisição. Os participantes,
utilizando os conhecimentos de volumes trabalhados, terão
oportunidade de construir modelos concretos para demonstrar propriedades
algébricas elementares, tais como: Cubo da soma., Cubo da
diferença, Diferença de cubos.
Retornar
OF10: Problemas de Geometria em Análise
Combinatória
Resolução de cerca de 30 problemas de geometria como
descritos acima, introduzindo os conceitos fundamentais de técnicas
de contagem, a saber: Princípio Multiplicativo, Permutações
Simples, Permutações Circulares,Combinações
Simples e o Princípio da Inclusão-Exclusão.Serão
mostrados os Poliedros de Platão, confeccionados com canudos
plásticos, de modo a verificar a contagem do número
de diagonais e compreensão do número de modos de pintar
cada um deles e de outros poliedros.
Retornar
OF11: Jogos no Ensino da Matemática
Nesta oficina apresentaremos como os jogos podem ser usados como
recurso pedagógico no ensino da matemática, especialmente
quanto aos cuidados que devem ser tomados, qual deve ser o preparo
do professor, na perspectiva da resolução de problemas.
Toda a teoria será abordada a partir da utilização
dos jogos xadrez chinês, traverse, dominó das quatro
cores e pentaminó.
Retornar
OF12:Formulando Problemas em Análise Combinatória
Nesta oficina pretendemos explorar uma investigação
desenvolvida na turma da PUC-Rio que fez parte do projeto Melhoria
do Ensino de Matemática do Rio de Janeiro (apoio SBM/FAPERJ).
Partindo da premissa de que aprender matemática é
fazer matemática, ou seja, ensinar matemática é
desenvolver a habilidade de modelar e resolver problemas, buscamos
responder às questões: os professores têm esta
habilidade desenvolvida? Se colocam como matemáticos diante
de questões não-matemáticas (problemas da realidade)
buscando modela-las? Sabem identificar e formular bons problemas
que possam ser generalizados por problemas literais e vice-versa?Para
nos aproximarmos de respostas para estas questões exploramos
seis belos problemas do livro Análise Combinatória
e Probabilidade (MORGADO, 1991). Com estes problemas os professores
foram estimulados a: investigar e discutir diferentes estratégias
de solução, aprofundando os conhecimentos de Análise
Combinatória, buscar associações com outros
campos do conhecimento matemático e enunciar novos problemas
envolvendo os mesmos conceitos e as mesmas estratégias de
resolução. Os resultados mostraram que, para aquele
grupo de professores, podemos responder negativamente às
três questões propostas. Os professores se mostraram
muito presos a exemplos comumente encontradas em livros-texto e
a noção de que resolver problemas é simplesmente
aplicar uma fórmula, além de não perceberem
a beleza e a riqueza do raciocínio combinatório. Concluímos
que professores de matemática precisam compreender que aprender
é resolver problemas e, a partir desta postura, precisam
desenvolver competências para formular problemas, saber identificar
aplicações matemáticas em situações
diversas e saber alimentar os alunos com informações,
dados, procedimentos, que auxiliem a resolução de
problemas.Considerando a relevância desta experiência,
a inquietude provocada pelos resultados e a necessidade de avançar
nas discussões sobre formação de professores,
pretendemos, nesta oficina, problematizar esta experiência
com outros professores e licenciandos. Além de reproduzir
um exemplo do experimento, pretendemos evidenciar que problematizar
implica promover um ambiente de discussão, de troca de propostas
e de experiências matemáticas anteriores, na busca
conjunta da modelagem de uma situação.
Retornar
OF13: A matemática no Ensino Médio
por meio de atividades interdisciplinares Biologia e Matemática.
Problemas que envolvem a metabolização de drogas lícitas
e ilícitas podem ser modelados e daí muitas conclusões
podem ser retiradas, que são de grande interesse dos alunos.
Retornar
OF14:Estatística para Todos
Introdução ao raciocínio estatístico
O papel da Estatística no desenvolvimento da cidadania Diferença
entre um problema matemático , um problema estatístico
e um problema probabilístico. Discussão sobre incerteza
e variabilidade – exemplos práticos Apresentação
de várias definições de probabilidade. Simulação
de situações de probabilidade, em uma perspectiva
freqüentista. Apresentação do tema Estimação.
Tratamento do tema através de um exemplo prático de
captura-recaptura, com a participação dos alunos.
Apresentação do tema “Estatística Descritiva”.
Tratamento de dados através de medidas resumo e através
de gráficos. Será feita coleta de dados com o próprio
grupo para análise. Sugestões de projetos a serem
desenvolvidos em sala de aula, incluindo iniciativas de natureza
interdisciplinar.
Retornar
OF15: Dízimas Periódicas e Calculadora
Representação decimal dos números reais. Decimais
finitos e infinitos, periódicos ou não. Números
racionais e irracionais. Questões conceituais e práticas
relacionadas com as dízimas periódicas e suas geratrizes.
Uso da calculadora.
Retornar
OF16: Oficina de Teoria dos Grafos
A teoria dos Grafos tem conhecido extraordinário progresso
desde a 2a Guerra Mundial (como de resto toda a Matemática
Discreta e Combinatória). Isso se deve, por um lado, à
sua estreita ligação com problemas de comunicação,
distribuição, gestão e tratamento digital da
informação, típicos da segunda metade do século
XX. Por outro lado, a evolução dos computadores e
das ciências da computação propiciaram a abordagem
prática de problemas até então apenas solúveis
para instâncias pequenas.. Nesta oficina compacta trabalharemos
com dois temas centrais da Teoria dos Grafos e de larga aplicação:
Ciclos Eulerianos - Como desenhar sem tirar o lápis do papel.
Problemas de dominação – Uma solução
boa pode ser melhor do que a melhor solução ? Um bom
computador resolve qualquer problema finito ? O trabalho será
realizado através de atividades práticas e fichas
de trabalho com problemas propostos.
Retornar
|
