Conferências: Resumos/Objetivos

C1: O Ponto de Vista na Arte e na Ciência de 1500

Em torno de 1500 ciência e arte se encontraram. A teoria da perspectiva ou melhor “da representação verdadeira” encantou  arquitetos, matemáticos, pintores, físicos e anatomistas. 
Piero della Francesca chegou a demonstrar com admirável elegância que o desenho em perspectiva guardava as devidas proporções com os objetos representados, assim como eram vistos. 
O ponto de fuga e o ponto de vista passavam a ser incorporados no desenho e na pintura.
O observador tornava-se assim essencial na representação dos objetos e do movimento dos corpos. Nascia o referencial, que nunca mais abandonaria a física. 
A teoria da nova representação permitia reconstruir os objetos vistos a olho nu ou, mais tarde, através do telescópio. O rigor da representação e da interpretação do que era observado tornara-se uma obsessão. As portas da anatomia, da cartografia, da astronomia estavam abertas. Cento e cinqüenta anos depois Galileu poderia dizer que eram vales e montanhas as manchas claras e escuras observadas na Lua através do telescópio. 
Os corpos celestes, como a Terra eram também irregulares. Não éramos mais os únicos corruptíveis no universo.  

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C3: Os Documentos Matemáticos de Antônio Ferrão Moniz de Aragão: Uma grata surpresa na Bahia oitocentista.

Nos idos de 1813 nasceu na “Cidade da Bahia”, o ‘polimorfo escritor’ Antonio Ferrão Moniz de Aragão. Filho de legítimos representantes das elites da Província foi enviado a estudar na Europa em 1824, lá vivendo pouco mais de dez anos. Após um período inicial muito difícil na França, onde aprendeu “apenas” o francês, foi para a Inglaterra no ano de 1826, e iniciou, de fato, a sua vida acadêmica. Durante sua estadia em Londres desenvolveu o gosto pelos estudos, fortemente influenciado pelo Sr. Comfield, diretor da escola que lá freqüentou. Remonta desse período a sua ‘descoberta’ e encantamento pela matemática. Em 1831 iniciou, na Universidade de Londres, o curso de Philosophy Natural, porém, o fascínio pela matemática fez com que freqüentasse aulas particulares desta disciplina em paralelo aos estudos universitários regulares. Em 1835 retornou à Salvador trazendo consigo uma grande quantidade de livros, de tal modo que montou uma das maiores bibliotecas aqui existentes. Após anos e anos de estudos, iniciou, na década de cinqüenta do século XIX, um novo período, que se estendeu até aproximadamente a sua morte, onde se dedicou a escrever sobre os mais diversos assuntos (matemática, história, filosofia, biologia, religião, física,...) por ele estudado ao longo de toda a sua vida. Neste trabalho que ora submeto ao Comitê Acadêmico, pretendo abordar os documentos matemáticos esritos por Antônio Moniz. Esses documentos são de dois tipos: editados e manuscritos (não publicados). O primeiro tipo é constituído pelo seu livro didático, denominado “Elementos de Matemática” e publicado em 1858 pela Thypografia Pedrosa de Salvador. Fez, nesta obra, uma tentativa de apresentar a Aritmética sob um ponto de vista rigoroso, enunciando axiomas, definições e teoremas. Seu objetivo não era apenas ensinar a contar, mas mostrar todas as relações que poderiam estabelecer entre as noções de quantidade e número. O segundo bloco é formado pelos seguintes manuscritos: Geometria e Mecânica Racional, Cerderística ou Aritmética Aplicada, Sintática ou Cálculo das Probabilidades, Metrologia Geral ou Geometria e Mecânica Concreta, Álgebra, Matemáticas Abstratas e Cálculo Diferencial e Integral, escritos entre 1865 e 1886. São manuscritos de real valor histórico pois permitem uma série de ilações a respeito da matemática praticada em Salvador ao longo dos anos oitocentos.

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C4: Mulheres Matemáticas

Durante o desenvolvimento do nosso trabalho, História da Matemática- Projeto aprovado pelos Departamentos de Matemática da Ufba e o Departamento de Ciências Exatas e da Terra da Uneb, nós ficamos curiosas quanto aos nomes de mulheres matemáticas citadas na história. Durante as nossas pesquisas, vimos que existia um enorme preconceito em relação às mulheres que se dedicavam à ciência e em particular as mulheres matemáticas, principalmente antes do século XX. Vimos que apesar da grande discriminação, principalmente na idade antiga, muitas mulheres corajosas e talentosas se destacaram e deixaram seus nomes gravados na história da matemática. No nosso trabalho, não nos detivemos nos seus trabalhos científicos e sim na história de vida e luta destas mulheres. Resolvemos então reunir este material e apresentamos como palestra no 6º Encontro de Matemática na Ufba. Devido a boa repercussão no meio acadêmico, fomos incentivadas por colegas à reapresenta-la para um público maior.

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C5: O ensino do Cálculo e da Análise Matemática.

Para divulgação entre aqueles que devem decidir se se interessam ou não em assistir à conferência, o melhor é o texto anterior sobre “objetivos”. No entanto, como ementa para “consumo interno”, sugiro o seguinte texto: A evolução do ensino do Cálculo e da Análise Matemática nos países da Europa e nos Estados Unidos; sua influência no ensino universitário brasileiro. As duas fases desse ensino em nosso país, antes e depois de 1960. Os problemas atuais: a melhor metodologia para maximizar o aprendizado e reduzir a reprovação

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C6: As possiblidades da informática na sala de aula de Matemática

A conferência tem como propósito apresentar diferentes possibilidades de uso de softwares no ensino e aprendizado da matemática escolar. Na apresentação será dada ênfase aos software de domínio público, com isto viabilizando-se, através dos professores ouvintes, o uso de diferentes softwares nas aulas de matemática de escolas que disponham de laboratórios de informática. Neste contexto informatizado serão abordados tópicos em geometria plana e espacial, funções, relações e gráficos; transformações geométricas no plano. 

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C7: A Geometria do Táxi e a Geometria Dinâmica

Introdução à Geometria do Táxi: a taxi-distância entre dois pontos; A taxi-circunferência e o taxi-compasso no Cabri; A taxi-distância de um ponto a uma reta no Cabri; A taxi-mediatriz no Cabri; A taxi-elipse no Cabri.

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C8: Calculus of Vector Fields using JAVA

We present a sophisticated JAVA tool that invites a unified visual appraoch to differential and integral vector calculus and to dynamical systems (differential equations). The tool as free and runs on any JAVA enabled WWW-browser The orginial first idea was: If zooming is so much better for understanding derivatives in the first calculus course (than the traditional secant lines which become tangent lines), why then not zoom on vector fields to study their derivatives, especially the curl and the divergence? Our JAVA Vector Field Analyzer II demonstates how easy it is -- but it laid bare a major shortcoming of the traditional approach which neglected the prior study of linear fields. No surprise then that so few students develop a deep understanding of divergence and curl.The next step was to provide for each kind of zooming lens a matching tool to display the corresponding flow. Here it is critical that the user can not only define discrete initial conditions, but indeed draw regions of intial conditions whose size, shape, and orientation are governed by the integrals of the derivatives of the +vector field. The third component provides the tools to analyze and visualize both kinds of line integrals, combining instant numerical calculations with visual displays and means to move, modify, and especially shrink contours to a point. This latter recovers the geometric definitions of the derivatives. We will conclude with a few remarks regarding the possible different displays of co- and contravariant fields, links to linear algebra, and uses in introductory complex analysis.

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C9: aComputer Álgebra for Visualizing Curvature

Curvature is the geometric measure of how far a smooth object is from being linear. Geometrically, curvature may be defined in very simple elegant ways -- but the algebraic formulae in coordinates are typically messy.As such curvature is predestined to be studied with the aid of a acomputer algebra system (CAS). Indeed, we feel that by relying on CAS, curvature may regain the more prominent place in our curricula that it used to have, and it still deserves: understanding linearity in all its guises is a key objective of our curricula -- and this also includes a solid and intuitive sense that quantifies the distance from being linear. From the antique (helices as constant curvature curves and Dido's problem), through such classics as Gauss, all the way to general relativity (curved space-time) and most recently optimal control, curvature has been, and still is a core subject of mathematics. CAS at our finger-tips now make it accessible for everyone. In this talk we take a graphically oriented approach to curvature, leaving the lengthy technical calculations to the CAS. Starting with curvature of plane and space curves, we proceed to curvature of surfaces imbedded in 3-space. The highlight of the talk is an interactive visualization of the interaction of curvature (coded by color) with properties of the geodesic spheres and geodesic spray. The central property of interest is that positive curvature "focuses" geodesics (or light-rays), whereas negative curvature is a sufficient condition for optimality of geodesics. We end with a brief preview of how such CAS-aided visually-oriented approach nicely extends to the next steps: curvature of abstract manifolds and curvature of optimal control.


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C10: Cálculo com Aplicações: atividades computacionais e projetos

Nosso trabalho é fruto de um trabalho coletivo e da experiência de vários anos lecionando e coordenando as disciplinas de Cálculo de uma e de várias variáveis para alunos dos cursos de Ciências Exatas e Tecnológicas da Unicamp. Apresentaremos uma amostra do material de apoio desenvolvido (atividades de laboratório e projetos), juntamente com a metodologia utilizada. Os conceitos básicos de limite, derivada e integral, que sustentam as disciplinas de Cálculo, são explorados sob os pontos de vista analítico, algébrico, geométrico, numérico, gráfico, histórico e físico. A ferramenta computacional atua como ampliadora de possibilidades – auxilia na formulação e validação de conjecturas, concretiza a visualização gráfica, e permite cálculos algébricos mais elaborados, bem como aproximações numéricas. O trabalho com projetos, por sua vez, abre espaços no modelo tradicional de ensino, fortalecendo o papel do aluno como protagonista de seu processo de construção e apropriação de conhecimento

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C11: Uma Introdução à Geometria Hiperbólica num Ambiente Informático.

O objetivo da conferência é dar uma visão panorâmica da história das geometrias não euclidianas. Para isto dividiremos a apresentação em 2 partes. Na primeira parte destacaremos a existência da geometria absoluta, ou seja, a existência de uma parte da geometria que pode ser desenvolvida sem a utilização do postulado das paralelas (quinto postulado de Euclides); a insuficiência dos postulados de Euclides e o surgimento de uma nova geometria. Na segunda parte apresentaremos os modelos da geometria hiperbólica a partir do software de geometria dinâmica Cabri-géomètre. No modelo de Klein-Beltrami visualizaremos dinâmicamente inúmeros resultados da geometria euclideana não válidos na geometria hiperbólica. Apresentaremos a barra do menu hiperbólico do modelo do disco de Poincaré. A seguir faremos dinamicamente a passagem do modelo do disco de Poincaré para o semi-plano de Poincaré. Esta passagem será realizada graças à gestão dos pontos no infinito presente no Cabri. Uma outra passagem interessante de se visualizar é quando o raio do disco de Poincaré tende ao infinito, nesse caso o modelo do disco se aproxima do modelo euclideano. Finalmente mostraremos visualmente a passagem do modelo de Klein-Beltrami para o disco de Poincaré . A introdução de um software de geometria dinâmica constitui-se num grande elemento de apoio ao processo de aprendizagem de novos conceitos.

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C12: Atividades Dinâmicas Com o Winplot, Winmat e Cabri-Géométre II

Esta palestra/conferência tem como objetivo apresentar atividades matemáticas em três softwares de grande utilidade prática e fácil manuseio. São eles: Winplot, Winmat e Cabri-Géomètre II. Com o Winplot (versão em português) abordaremos tópicos mais avançados, relacionados à animação de curvas e superfícies no plano e espaço. A idéia é que podemos visualizar "continuamente" curvas e superfícies, utilizando equações simples da Geometria Analítica. No Winmat (versão preliminar, em português) faremos uma atividade "passo a passo" com o tópico escalonamento de matrizes. A novidade neste caso é que podemos comandar no programa as operações nas linhas da matriz, personalizando e ao mesmo tempo dinamizando o escalonamento. Finalmente, exploraremos no Cabri-Géomètre II o sutil conceito de "radiano". Este conceito é usualmente mal formulado e compreendido no Ensino Médio, e pelo que pudemos observar nos estudantes de Matemática e Engenharia, é também obscuro para eles.

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C13: A Teoria da Evolução na Solução de Problemas de Otimização

Existem problemas de Otimização que não possuem métodos exatos capazes de resolvê-los. Para esses problemas, geralmente são utilizados métodos heurísticos de resolução, que buscam encontrar uma resposta suficientemente próxima à melhor solução sem, no entanto, garantir que ela seja a melhor resposta para o problema apresentado. Uma heurística que tem sido aplicada com sucesso são os Algoritmos Genéticos, que baseiam seu método de busca na Teoria da Evolução de Charles Darwin O funcionamento dos Algoritmos Genéticos, bem como seus operadores, serão esclarecidos, explicando como a Teoria da Evolução pode contribuir para solução de problemas Matemáticos.

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C15: Uma Prova da Desigualdade Isoperimétrica

Minimização de um funcional definido no espaço das curvas convexas que delimitam uma área fixada. Resumo: Existem várias provas para a desigualdade isoperimétrica que se encontra na literatura clássica de Geometria Diferencial. A prova a ser apresentada não é encontrada de modo geral nos textos. Utilizará o método direto do cálculo das variações para minimizar o funcional que associa a cada curva plana convexa que delimita uma área fixa, o seu comprimento.

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C16: Álgebras Normadas e o Teorema de Hurwitz

No início do século XIX, na efervescência da polêmica entre geometria euclidiana e nâo-euclidiana, um outro problema que atormentava os matemáticos da época, era conceber uma állgebra diferente da álgebra de números. Mais precisamente, admitir a existência de uma consistente álgebra na qual a lei comutativa do produto não fosse válida, era uma árdua idéia, muitas vezes considerada até ridícula. Foi assim que em 1843, Willian Rowan Hamilton, forçado por considerações físicas, estabeleceu uma álgebra na qual a.b ? b.a, a álgebra dos números quaterniônicos. Para chegar a sua descoberta, Hamilton começou considerando os números complexos como pares ordenados de números reais e estabeleceu a álgebra (comutativa) dos números complexos, üal qual a conhecemos atualmente. Essa construção foi feita de tal forma que a álgebra dos números reais estava contida na álgebra dos números complexos. Após observar que para ternas ordenadas de números reais seus objetivos não se concretizavam, ele passou então a considerar quadruplas ordenadas de números reais, as quais chamou de quatérnio, tendo os números reais e complexos ambos contidos nesse sistema numérico. Sendo assim, a questão que surgiu foi: "Para quais valores de n, as n-uplas ordenadas de números reais define uma álgebra de números?". A resposta final a esta pergunta foi dada por Hurwitz em 1898 quando ele demonstrou que o resultado era verdadeiro apenas nos casos n = 1, 2, 4, 8, ou seja para as álgebras dos números reais, complexos, quaterniônicos e octoniônicos (também conhecidos como números de Cayley) Posterormente várias outras provas foram feitas na tentativa de uma melhor compreensão das álgebras quaterniônica (não-comutativa) e octoniônica (não-comutativa e não-associativa). A prova que apresentaremos, feita por Morton Curtis em 1989, utilizaremos apenas conhecimentos básicos de estruturas álgebricas e a teoria da Álgebra Linear.

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C17: Contando os pontinhos do Geoplano: O teorema de Pick e o algoritmo de Euclides

Qual a área de um polígono com vértices de coordenadas inteiras ? O Teorema de Pick nos oferece uma fórmula simples para calcular esta área em função apenas do número de pontos de coordenadas inteiras no interior e na fronteira do polígono. Nesta conferência abordamos o teorema, sua demonstração usual e uma demonstração alternativa, usando os ângulos internos do polígono. Surpreendentemente, o Teorema de Pick pode ser utilizado para provar o teorema da co-primalidade, que diz que, se p e q são inteiros e primos entre si, então existem a e b inteiros tais que ap + bq = 1.

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C18: O Maior Teorema da Matemática: A Teoria dos Grupos e a Classificação dos Grupos Simples

O imenso esforço para classificar os grupos simples foi finalmente recompensado no início dos anos oitenta do século vinte, quando demonstrou-se a existência de apenas cinco famílias de grupos, sendo algumas delas infinitas, que esgotavam inteiramente estes objetos de importância fundamental na teoria dos grupos. Chegava a termo uma longa jornada que, em sua arrancada final, demorara quase três décadas, mas que começara, podemos afirmar, já na segunda metade do século dezenove. É certamente pretensioso, em qualquer ramo da Matemática, apresentar-se um teorema como o maior; todavia, nesta apresentação, tentaremos mostrar que o Teorema de Classificação dos Grupos Simples merece de fato este título! Em linguagem elementar, ou seja, sem abordar os aspectos técnicos intrincados que envolvem esta questão, observaremos algumas interessantes características deste resultado: o fato de, possivelmente, pela primeira vez na história da Matemática, uma questão ter sido atacada de modo organizado e quase programático; o imenso número de estudiosos, nos mais diversos países, envolvidos neste esforço e a esmagadora quantidade de artigos publicados sobre o tema, e tudo isto sem que se recorresse aos computadores! Ademais há a extrema importância deste teorema, não apenas para a Álgebra e Teoria dos Grupos em particular, mas para todos os ramos da Matemática, haja a vista sua influência em praticamente todos os campos de estudo desta ciência; e até a extrapola, repercutindo na Lógica, Ciência dos Computadores, Física e mesmo na Química. Se todos estes fatos não lhe justificam o título, podemos ainda lembrar dos milhares e milhares de páginas necessárias para apresentá-lo integralmente!

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C19: Arquimedes e a quadratura da parábola

O estudo do segmento parabólico resgata o germe do cálculo integral, com o resultado de Arquimedes sobre a quadratura da parábola que utiliza o princípio da exaustão de Eudoxus. Tal princípio pode ser formalizado neste problema com a abordagem via progressão geométrica. O estudo desta quadratura integra ainda conceitos de geometria (área de figuras planas), cálculo diferencial (derivadas e Teorema do Valor Médio) e integral (áreas).A extensão tridimensional do problema da quadratura permite conjecturar se a relação estabelecida por Arquimedes se estende para o espaço e sob que condições isso ocorre. Neste processo de indagação traçamos um panorama dos principais conceitos do Cálculo de várias variáveis: curvas no plano e no espaço; superfícies; parametrizações; interseção de superfícies; superfícies e sólidos de revolução; gráfico de funções de duas variáveis; plano tangente e diferenciabilidade; multiplicadores de Lagrange; cálculo de volumes e áreas de superfícies; centro de massa e teorema de Pappus. A ferramenta computacional apóia o levantamento de conjecturas algébricas e gráficas. A própria produção computacional de ilustrações para o problema pode motivar novas descobertas. A sistematização do raciocínio alimenta a conquista de belas soluções e de possíveis desdobramentos.

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C20: Percolação em Árvores e a Eva Mitocondrial

Estudiosos da evolução humana têm debatido intensamente duas possíveis teorias. Uma delas afirma que o homem moderno,Homo sapiens, teria se originado unicamente na África e daí se difundido por todo o resto do mundo, substituindo outras espécies primitivas de hominídeos que encontrava em outras regiões. A outra teoria prega que o que hoje chamamos homem moderno resultou de uma evolução multi-regional. Mutações evolutivamente favoráveis que aconteciam em uma determinada região eram propagadas a outras através de migrações. Um argumento muito forte a favor da hipótese da origem africana apareceu em 1987 num trabalho na revista Nature de R. L. Cann, M. Stoneking e A. C. Wilson. Análises das variações do DNA mitocondrial (mtDNA) em pessoas vivas levaram a pensar que todos os tipos atualmente existentes de mtDNA ter-se-iam originado em uma única fêmea que teria vivido na África há cerca de 200 mil atrás. Esta fêmea passou a ser conhecida como a Eva mitocondrial. Nesta conferência pretendemos brevemente revisar as razões por trás de ambas as teorias e explicar como os estudos de mtDNA parecem levar à Eva mitocondrial. Em seguida, iremos explicar o que é percolação em um contexto geral e mostrar como um modelo de percolação em árvores está ligado à questão do mtDNA. Em particular, veremos que modelos razoáveis para a evolução demográfica humana são incompatíveis com a possibilidade de existência da Eva mitocondrial.

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C21: Caos e Cosmos

Nosso ponto de partida será a arte grega e renascentista, isto é, a visão clássica de beleza, rica em proporções e harmonia, e de extremo realismo. Defendemos a tese de que tal visão inicial de arte é abstraída muito diretamente da natureza, já que, por exemplo, a conhecida proporção áurea está freqüentemente presente nos seres vivos. Notando a complexidade dos processos dinâmicos de gênese e crescimento desses seres, tentamos explicar porque esses processos convergem para tais proporções. Mais recentemente, em computação gráfica, têm sido usados fractais para modelar (desenhar) paisagens e plantas em grande complexidade. Explicamos o que são fractais e por que razão tal modelagem funciona.

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C22: Considere uma vaca redonda; uma intrudução à modelagem

Nos cursos de calculo que ensinamos e’ difícil escapar de pragmatismo de apresentar a matéria, fazer exemplos, e seguir em frente. As tentativas de dar aplicações mais interessantes esbarram no usual “isso cai na prova?”.O seminário da vaca redonda foi uma tentativa feita na PUC-Rio no verão de 2004, de fazer os alunos pensarem livremente , aplicando tudo o que soubessem para responder a perguntas reais. Bibliografia: Consider a spherical cow, John Harte

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C23: Auto-valores de Matrizes e Teoria da Decisão

A Matemática sugere um modo conveniente de apresentar um problema de Decisão quando o coloca sob a forma de matriz (também chamada matriz de resultados ou matriz decisória). A representação matricial do problema de decisão é particularmente conveniente porque podemos, por exemplo, utilizar as linhas da matriz representando as estratégias disponíveis (uma linha para cada estratégia), e as colunas como os estados da natureza, ou mesmo as ações disponíveis. A matriz decisória pode ser considerada um meio eficaz de estruturar e representar as informações relevantes de um problema “prático”. Uma questão que pode ocorrer e, de fato, ocorre com freqüência, é aquela da “inconsistência” dos dados colhidos junto aos especialistas. Isto pode ocorrer devido a falhas na consistência das matrizes individuais dos especialistas, ou nos processos de incorporação dos resultados, ou mesmo por acumulação de erros de precisão, dentre outras formas de inconsistência. Nesse caso os resultados obtidos se tornariam ineficazes aos objetivos do modelo, ou seja de nada ajudariam na tomada de decisão. A consistência de uma matriz (“recíproca e positiva”) pode ser analisada a partir do auto-valor máximo da matriz em questão. Nesse trabalho, serão apresentados exemplos práticos e os resultados teóricos necessários a compreensão da questão.

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C24: Modelando matematicamente a dinâmica de patologias: a resposta a um tratamento do câncer com metástase.
 

A modelagem matemática e computacional da dinâmica de patologias é um importante tópico da Biomatemática e da Física Biológica. Modelos contínuos (equações diferenciais) e discretos (autômatos celulares) têm sido utilizados para descrever tanto o processo de propagação de epidemias em uma população quanto a evolução dinâmica de uma doença num indivíduo. Nesta conferência, pretendemos apresentar os conceitos básicos e as diversas abordagens destas linhas de pesquisa fortemente interdisciplinares, bem como modelos que temos desenvolvido e investigado para descrever aspectos essenciais da dinâmica das patologias, tais como câncer, malária e epidemias de sarampo. Em particular, focalizo a atenção de modelo de equações diferenciais com atraso temporal, que propusemos recentemente [1], para simular o tratamento quimioterápico de câncer, no qual levamos em conta a possibilidade da formação de metástase num órgão secundário. Trata-se de um modelo determinístico de equações diferenciais, cujas variáveis modelam a densidade de células normais, de células cancerosas e do agente quimioterápico nos tecidos primário e secundário. Tal agente tem ação predatória diferenciada sobre as células normais e cancerosas que, por sua vez, competem entre si pelos recursos disponíveis. Assumimos ainda que células cancerosas do órgão primário podem migrar, após um certo tempo, para o órgão secundário. Objetivamos apreender aspectos globais da resposta do indivíduo ao tratamento, relacionando-os aos parâmetros do modelo, através do estudo da estabilidade local e não-local das soluções estacionárias e de investigações numéricas do seu espaço de parâmetros. Finalmente interpretamos, em termos fisiológicos, nossos resultados e buscamos identificar as regiões do espaço de parâmetros para as quais a ação predatória do tratamento permita a “cura”, ou seja, a vitória das células normais sobre as células cancerosas. [1] Pinho, Freedman and Nani, Math. Comput. Model. 36, 773 (2002).

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C25: Modelagem do Sistema Climático

A modelagem do clima terrestre depende, fundamentalmente, do balanço de energia e momentum do sistema acoplado atmosfera/oceano/biosfera. Historicamente, observa-se que as primeiras simulações do sistema climático, com modelo mais realistas, eram baseadas somente no sistema atmosférico. Na década de 80 começaram a surgir as primeiras simulações com o acoplamento da atmosfera com os oceanos e criosfera que exercem um importantíssimo papel no transporte de calor entre a região equatorial e polar. Apesar de reconhecida a importância do efeito da biosfera no clima, foi somente na década de 90 que começaram a surgir os primeiros modelos mais complexos e finalmente no final do século. O sistema de equações que governa o sistema climático pode ser colocado de forma esquemática como equações com características principalmente hiperbólicas e parabólicas. Outro ponto interessante é que a parte linear das equações que regem a atmosfera e oceanos apresenta soluções na forma de ondas de alta e baixa freqüência, com grande separação de escala temporal. A parte não linear das equações promove o acoplamento entre as escalas temporais e espaciais e dá origem a fenômenos extremamente importantes para o clima terrestre como, por exemplo, o fenômeno El Niño que tem enorme implicação no clima terrestre. A não linearidade do sistema climático também dá origem a soluções que mostram comportamento caótico e/ou transições abruptas que já foram observadas no passado e que hoje constituem uma área de pesquisa muito fértil em função do fato de o sistema climático estar sendo forçado pelo Homem em níveis nunca antes observados. Também serão abordados os requisitos computacionais para as simulações realistas do sistema climático terrestre com ênfase na evolução dos processamento das aplicações das arquiteturas de processamento vetorial e paralelo.

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C26:Problemas de autovalores associados a polinômios ortogonais e similares

Os polinômios ortogonais são ferramentas essenciais para a solução de muitos problemas de Matemática e Ciências Aplicadas e, por exemplo, vêm contribuindo nos estudos relacionados a Teoria de Números, Equações Diferenciais, Frações Contínuas, Estabilidade Numérica e Algoritmos Rápidos. Seja uma função limitada e não decrescente em tal que todos os momentos , , existem. Então, a seqüência de polinômios ortogonais , associada à “medida” é definida por a) é de grau exatamente , b) . Sem perda de generalidade, consideramos aqui os polinômios na forma mônica. Uma das propriedades mais interessantes desses polinômios é a relação de recorrência de três termos: , , com e . A relação de recorrência e/ou os coeficientes que nela aparecem permitem fácil obtenção de muitas informações relacionadas a estes polinômios. Um dos resultados que apresentaremos nesta exposição é que os zeros do polinômio são os autovalores da matriz simétrica tridiagonal de ordem , onde para e para . Este é um resultado bem conhecido e suas aplicações foram exploradas por vários pesquisadores. Quando falamos de polinômios similares aos ortogonais estamos nos referindo à seqüência de polinômios gerada pela relação de recorrência modificada , , com e . Como exemplos desses polinômios temos os polinômios de Laurent ortogonais, certos polinômios de Szegö, polinômios para ortogonais e somas parciais de certas séries infinitas. Os zeros de também podem ser dados como auto-valores de uma matriz. Entretanto, esta matriz é do tipo Hessenberg e mostramos que o problema de autovalor associado neste caso é bem mais rico que o problema associado aos polinômios ortogonais. Apresentaremos um exemplo onde os zeros de estão localizados (na fronteira) do círculo unitário. Apresentaremos, também, uma aplicação baseada neste exemplo.


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C27: Peliculas e bolhas de sabão

Definições fundamentais; exemplos, noção de equilibrio estavel; resultados fundamentaissobre estabilidade de superficies minimas e de curvatura media constante.

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C28: Regressão Linear – Uma proposta para o Ensino Médio

O problema de coletar e analisar dados é comum a muitas áreas da atividade humana. É freqüente a ação de medir certa grandeza “y” em função de outra “x”. Não raro procura-se obter uma relação entre tais grandezas a fim de prever resultados. O método dos mínimos quadrados se constitui numa ferramenta importante de se obter a aproximação a uma função polinomial de um conjunto de dados coletados. O método dos mínimos quadrados é uma ferramenta comum no terceiro grau e uma interessante aplicação dos conceitos de álgebra linear. A demonstração dos conceitos pertinentes a este método é, portanto, comum neste nível. Entretanto, tais conceitos são ainda muito distantes do conhecimento requerido e apresentado no ensino médio.O objetivo da presente proposta é a apresentação de conceitos pertinentes a tal método de forma geométrica e algébrica, com o fim de mostrar não apenas a aplicação da regressão linear e quadrática bem como conceitos como matrizes e sistemas lineares. Por se tratar de um contexto de ensino médio, pretende-se lançar mão de recurso visual (modelo concreto e recurso de multimídia) a fim de mostrar aspectos geométricos na resolução de um sistema e conceito de projeção ortogonal. Segue-se a formulação algébrica de tais conceitos com o uso de matrizes e a demonstração de um único teorema que servirá de subsídio para formulação do método dos mínimos quadrados usando como ferramenta de resolução o processo de inversão de matrizes que, no caso da regressão linear, é uma matriz 2x2. Por fim, apresenta-se a expansão deste conceito para a aproximação a funções polinomiais de grau maior. Não se trata de um conceito novo, mas sim de uma abordagem que pretende alcançar pessoas que ainda não galgaram degraus mais elevados no conhecimento matemático. Muitos jovens não se quedarão à área de exatas, entretanto, oferece-se um conhecimento útil a diversas áreas do conhecimento humano e uma motivação adicional aos amantes dos prazeres da matemática.

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C29: Aplicações da Teoria Elementar dos Números ao estudo de pontos periódicos em Sistemas Dinâmicos

Nesta conferência, consideramos os problemas da determinação e da contagem dos pontos periódicos de um sistema dinâmico discreto. Tratamos de dois sistemas específicos que, apesar de serem simples de definir, possuem uma dinâmica complexa, de fato caótica. Inicialmente, analisamos o sistema definido pela aplicação dos números reais f(x)=10 x (mod 1). Por meio do Teorema de Euler-Fermat, mostramos que os pontos periódicos são exatamente os números racionais da forma (reduzida) m/n, onde n não é divisível por 2 ou 5, e que o período de m/n é um divisor da função de Euler _(n). Posteriormente, consideramos a dinâmica das aplicações conhecidas como shift (deslocamento) e sub-shift de tipo finito definidas no conjunto formado pelas seqüências de dois símbolos, por exemplo 0 e 1, e num subconjunto do mesmo, respectivamente. Mostramos como a Fórmula de Inversão de Möbius pode ser utilizada na contagem de pontos periódicos destas dinâmicas. Caso haja tempo disponível, para efeito de completude, faremos as demonstrações do Teorema de Euler-Fermat e da Fórmula de Inversão de Möbius.

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C30: Olimpíada de Matemática: uma porta para o futuro.

A Olimpíada de Matemática vem conquistando a cada ano mais estudantes em nosso país. Para se ter uma idéia, em 2003, a Olimpíada Brasileira contou com a presença de cerca de 150.000 alunos em sua primeira fase, e, além disso, vários estados brasileiros já contam com sua própria competição de matemática. Nesta palestra, vamos contar um pouco da história das competições de matemática no mundo e apresentá-las, não como forma de diferenciação entre pessoas, mas sim como projeto de forte inclusão social e alternativa para melhorar o ensino do país, daí o título: “Olimpíada de Matemática: uma porta para o futuro”. Mostraremos todas as competições na qual um aluno pode vir a participar, e também destacaremos alguns exemplos de problemas tipicamente de olimpíada. A matemática destas competições é algo dinâmico, divertido e estimulante para aqueles estudantes e professores que estão envolvidos. Daremos também várias dicas aos professores sobre como montar um projeto Olimpíada de Matemática na sua escola, com bibliografias, conteúdos, horários... Ao fim do encontro, haverá uma exibição de fotos, e um espaço dedicado a perguntas. Esperamos por vocês...Aqui, diversão é a palavra-chave!

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C31: Superfícies que minimizam área

A origem das superfícies mínimas: o problema de minimização de área. Exemplos clássicos e exemplos recentes de superfícies mínimas. A geometria das superfícies mínimas. O problema de Plateau e questões relacionadas.

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C32: Numeratizar – uma experiência do Ceará na descoberta de talentos para a Matemática

A descoberta precoce de talentos para a Matemática e a melhoria do ensino fundamental nas escolas públicas são os principais objetivos do Projeto “Numeratizar” que se desenvolve no Ceará desde segundo semestre de 2003. Partindo da premissa de que o talento para Matemática existe de forma aleatória na população, independentemente de poder econômica, raça, sexo, e qualquer outra variável, foi construído um projeto que generalizou, para as escolas públicas do Estado, a experiência bem sucedida da olimpíada, incorporando algumas novidades que permitiram abarcar, sem um grande esforço do pessoal acadêmico envolvido, uma população de mais de 110.000 alunos de escolas públicas estaduais e municipais do Ceará. O projeto esta sendo considerado como um marco de inclusão social e pode vir a ser replicado em outros estados.

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C33: Um passeio pelo zoológico de SL(2, R)

Desde o ensino médio os alunos têm contato com elementos da Geometria Analítica, sob um ponto de vista mais aritmético que geométrico. Esta prática muitas vezes continua nos cursos de graduação em Matemática, pouco se estimulando à exploração dos aspectos geométricos dos objetos ali estudados. Nos textos de Álgebra Linear, usualmente encontramos algumas propriedades algébricas de certos conjuntos especiais de matrizes, e.g.: matrizes simétricas, antissimétricas, ortogonais, unitárias, etc., sem no entanto, haver qualquer menção às propriedades geométricas destes conjuntos (o que levaria os alunos, de maneira natural, a uma motivação ao estudo dos grupos de Lie). Em particular, pouco ou nada se desenvolve (em nível de graduação) sobre o grupo SL(2,R). Nesta Conferência vamos abordar, de forma elementar, alguns dos vários aspectos do grupo de matrizes unimodulares, SL(2,R). Mais precisamente, serão desenvolvidos os seguintes tópicos: (i) Estrutura do subgrupo SL(2,Z) de SL(2,R), e propriedades aritméticas. (ii) SL(2,R) como grupo de transformações que preservam área. (iii) Relação de SL(2,R) com o grupo das transformações fracionais lineares. (iv) Geometria de SL(2,R).

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C35: O tamanho de cada conjunto

Sabemos que existem muitos conjuntos finitos e tantos outros infinitos. Dizer que o número pessoas em Salvador supera o número de baleias em todo o mundo, é algo fácil de entender e possível de acreditar. Mas, e se quisermos comparar conjuntos infinitos? Será que há mais números pares que primos? Será que existem mais pontos no plano que em uma reta? Existem tantos inteiros quantos racionais? Incrivelmente, muitas dessas respostas são surpreendentes! Falaremos sobre comparações entre conjuntos, cardinalidade, enumerabilidade e não-enumerabilidade e outros aspectos dos números e de conjuntos em geral.

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C36: Duas estruturas matemáticas correlatas

Modelagem dos movimentos (mínimos) de uma torre de n-discos: relações de recorrência. Resolução de relações de recorrência O jogo do dodecaedro viajante: ciclos hamiltonianos. Os ciclos no contexto de grafos. Isomorfismos entre as soluções da torre de Hanói e os ciclos hamiltoniano.s O sistema binário e a descrição dos movimentos na torre e nos ciclos

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C37: Normas e condicionamento de matrizes

Duas estruturas matemáticas correlatasO conceito de normas de matrizes é fundamental em Álgebra Linear. Normalmente esse conceito não é abordado nos cursos tradicionais quando as transformações lineares são estudadas. Além de ser uma oportunidade importante como estímulo para esta relevante disciplina, o conceito de norma tem conseqüências importantes na matemática aplicada. Uma forma interessante em introduzir as normas é por meio do condicionamento das matrizes, ou ainda, de sistemas lineares por elas envolvidos. É nesse aspecto que a presente exposição se concentra.

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C38:Distribuição de riqueza: um modelo simples e a riqueza do modelo.

Problemas de equilíbrio aparecem em quase todas as áreas de estudo: mecânica (estática); economia (teoria geral de equilíbrio econômico); circuitos elétricos; estatística; fluidos e calor, por exemplo. Estes problemas apresentam uma estrutura Matemática em comum, que pode ser bem explicada usando álgebra linear e grafos, como detalhado em G. Strang, Introduction to Applied Mathematics, Wellesley Cambridge Press, Wellesley, Massachusetts, 1986. A proposta então é apresentar esse modelo em um contexto de distribuição de riqueza.

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C39: Bilhares em Polígonos.

Pretendemos apresentar alguns conceitos e resultados básicos de sistemas dinâmicos através de um exemplo clássico em dimensão dois: as aplicações do tipo bilhar.
Uma aplicação do bilhar é obtida considerando-se o movimento de uma partícula livre numa região limitada por uma curva plana, simples e  fechada , de modo que ao chocar-se com a fronteira a partícula é refletida seguindo a seguinte regra:  o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão.
O objetivo é apresentar alguns resultados recentes sobre as aplicações do tipo bilhar em regiões limitadas por curvas convexas, ilustrando-os por meio de exemplos.
Aplicação do tipo bilhar: definição –exemplos: bilhar no círculo, na elipse, em polígonos, bilhares de Sinai.
Órbita periódica: definição, órbitas de Birkhoff, classificação e métodos de obtenção.
Curvas Invariantes: definição- Teorema de Birkhoff.
Cáusticas e curvas invariantes: o parâmetro de Lazutkin.

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C40: MIXnFIX: um sistema para avaliação continuada.

O Sistema MIXnFIX permite a individualização e a correção automáticas de provas objetivas. Dificultando a cola e desaparecendo o ônus da correção os professores podem aplicar exames e testes com mais freqüência, o que obriga os alunos a se manterem em dia com a matéria. Nesta palestra  apresentamos a nossa experiência em dois cursos de Licenciatura Noturna na UFPE (um deles iniciou com 79 alunos). O resultado tem sido encorajador pois os alunos se sentem muito mais seguros pelo fato de haver 8 avaliações fora 2 finais.
Compare estes números com as duas avaliações e a única final do sistema tradicional, em que a sorte no curso é decidida nestes poucos momentos. Assim, os alunos têm melhor freqüência e melhor desempenho pois a recompensa pela seriedade no estudo é imediata. O grande desafio pedagógico para nós, professores, é desenvolver a criatividade para elaborar provas objetivas que realmente avaliem o aprendizado. Por exemplo, a compreensão da prova de um teorema importante pode ser tornada uma questão objetiva. Realmente impressionante é a taxa de provas corrigidas por hora: ela é superior a 24000 provas!  

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C41:Polinômios homogêneos no estudo de fluidos.

Um polinômio p(x,y) é homogêneo de grau k se p(t×x,t×y) = t^k p(x,y).  Além disso, p(x,y) é harmônico se D p = 0. Veremos nesta apresentação que uma função vetorial f(x,y) = ( p₁(x,y), p₂(x,y) ) tal que  p₁(x,y) e  p₂(x,y) sejam harmônicos e homogêneos de grau k ³ 2 é uma função geratriz de soluções das equações de Stokes:
-nD u+ Ñp = 0 ,
Ñ×u = 0.
Do mesmo modo, vamos construir funções geratrizes f(x,y,z) para as equações de Stokes em três dimensões. Este resultado foi obtido de forma mais geral por Hi Jun Choe em 1999. Será também discutido o uso destas funções na aproximação de problemas de valores de contorno envolvendo as equações de Stokes.
Em mecânica dos fluidos, as equações de Stokes modelam o escoamento de fluidos lentos em regime permanente. No modelo tridimensional, as funções u(x,y,z) e p(x,y,z) representam a velocidade e a pressão do fluido na posição (x,y,z), respectivamente, enquanto n representa a viscosidade do fluido.

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C42:Linguagem e criatividade no ensino da matemática

O desenvolvimento desta fala consiste em apresentar encaminhamentos que vêm a somar à prática docente no que se refere ao processo ensino-aprendizagem da matemática, desmistificando esta área do conhecimento vista até então com rejeição e taxada como “bicho-papão” por grande parte dos educandos, conceitos estes trazidos pela chamada matemática moderna que privilegia a linguagem formal, memorização de fórmulas e a abstração, que distanciada do nosso cotidiano se torna repetitiva, cansativa, desestimulante, e por conseguinte os resultados do estudo desta disciplina são poucos animadores. Para tanto algo prático e utilitário ligado à realidade concreta e não abstrata deve ser propiciado como formas de interação, fácil compreensão e significação para despertar o prazer e motivação por esta disciplina, certamente metodologias diferenciadas se fazem necessárias na efetivação deste trabalho.

Neste contexto cabe ressaltar a importância da linguagem dotada e aplicada pelo(a) professor(a) no desenvolvimento de suas aulas, pois ensinar matemática não é apenas operar simbologia, e sim desenvolver os conteúdos a partir do universo de conhecimento dos alunos. Muitas vezes, informações sem significados são transmitidas aos alunos tornando a aula  enfadonha e traumática. Em maior parte das escolas, os professores apontam geralmente três alunos aproximadamente, considerando estes os “melhores” da turma, para questionarem e dar encaminhamentos as suas aulas, eu aponto apenas um, o mais necessitado, a diferença é que, quando desenvolvido um método ou uma linguagem adequada atingindo a compreensão deste aluno, já não necessita se preocupar com a assimilação dos conteúdos pelos demais, porque efetivamente neste momento se realiza a verdadeira aprendizagem. É imprescindível a utilização de recursos pedagógicos que associados a uma linguagem clara tornem  a aprendizagem significativa atendendo as necessidade básicas curriculares do aluno repercutindo no seu sucesso escolar.

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C43: Multicurso Matemática
 

O Programa Multicurso Matemática foi desenvolvido pela Fundação Roberto Marinho com o objetivo de contribuir com a qualificação da educação básica brasileira. Inicialmente, esta contribuição se dá pelo desenvolvimento de um programa que tem como base o trabalho de Formação Continuada dos educadores de Matemática do ensino médio e o apoio da presença em sala de aula de um material didático concebido por uma equipe de renomados especialistas em matemática e comunicação.
Os educadores envolvidos no Programa passam a se organizar em grupos de estudo de matemática, os GEMA, que se reúnem quinzenalmente, sob a coordenação de um dos integrantes do grupo. Cada GEMA tem também um tutor, especialista em matemática, que assessora e os orienta, fazendo uma interface entre os educadores e a equipe central do programa. O Multicurso estimula o envolvimento e prevê atividades também para coordenadores pedagógicos e diretores das escolas, garantindo apoio logístico nas salas de aula e subsecretarias, de forma a integrar toda a comunidade escolar.
A cada bimestre os coordenadores e tutores dos GEMA se reúnem em um seminário para discutir a aplicação do programa nas salas de aula e relacionar procedimentos de atuação.
Por ser uma experiência ao mesmo tempo à distância e presencial, o Multicurso dispõe de um ambiente virtual (www.multicurso.org.br) onde todos os participantes podem expor suas experiências, ter acesso a informações sobre atividades em curso, fazer cadastros, consultas e conhecer os demais educadores envolvidos no programa. O ambiente virtual permite haver comunicação contínua, fortalecendo os laços entre os participantes e colaborando para a formação de uma rede de aprendizagem cooperativa.
Para assegurar ainda mais legitimidade ao Multicurso Matemática, ele é monitorado e avaliado por uma equipe externa em todas as etapas de aplicação, ao longo do ano, a fim de rever práticas e procedimentos e melhor atender aos beneficiados do programa.
Este ano, são beneficiados diretamente pela aplicação do Multicurso em Goiás 2.400 educadores e 109.000 alunos da primeira série do ensino médio. A implementação é uma parceria entre a Fundação Roberto Marinho, a Secretaria de Educação de Goiás e a Fundação Pró-Cerrado.

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C44: Sobre as origens da Geometria e suas aplicações mais antigas.

Traçar o panorama da evolução da Geometria ao longo das civilizações mais antigas que viveram no Egito, Mesopotâmia e Grécia.
Você sabia que o Teorema de Pitágoras não é de Pitágoras? Venha saber sobre isto e muito mais em uma apresentação panorâmica da evolução do conhecimento da Geometria ao longo das civilizações que viveram no Egito, na Mesopotâmia e na Grécia na antiguidade.

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 C45: A evolução da Estatística nos últimos 2000 anos

Nesta conferência apresenta-se um resumo dos principais conceitos e avanços da Estatística nos últimos 2000 anos. Especial ênfase é dada à era Fisheriana. Esta conferência é baseada na cronologia da Estatística elaborada pelo autor e disponível no site da Associação Brasileira de Estatística (www.ime.usp.br/~abe).

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C47:Sobre a Equação Diofantina   x²+ y² = N

 SOBRE A EQUAÇÃO DIOFANTINA
(1)                            x²+ y² = N.
            Seja  R(N)  o número de soluções inteiras de (1), isto é,o número de pontos de coordenadas inteiras sobre o círculo (1).  A função de Landau – Ramanujan  L(N)  é definida como a cardinalidade dos inteiros  
0 < n  £  N   que são  representados por  x²+ y²,   isto é,  tais que x²+ y² = n  tem alguma solução inteira. Então, mostraremos que: R(N) < 2L(4N) .
            A demonstração é inteiramente elementar.
            Esses e outros resultados análogos fazem parte de um trabalho conjunto com C. Pugh, em elaboração.