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Pôsteres (Objetivos/Resumo)

 

P02: Termo geral da Seqüência de Fibonacci através da Diagonalização de Operadores.

Objetivos:Mostrar a importância e utilidade da diagonalização de uma matriz; Encontrar o termo geral da seqüência de Fibonacci através da diagonalização de matrizes (operadores); a partir do termo geral, encontrar diversos termos dessa seqüência; a partir do termo geral, encontrar o número de ouro 1,618033989;

Resumo:Considere a seguinte seqüência: {1, 1, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 ... }, note que cada termo, a partir do segundo, é obtido a partir da soma dos seus dois termos imediatamente anteriores. Essa é a seqüência de Fibonacci. Ela tem uma característica muito especial denominada recursividade. Observe a seguinte pergunta: "Como obter um termo muito grande desta seqüência, por exemplo o termo de ordem 500?". Uma resposta louvável seria sair somando termos dois a dois até chegar nesse termo. No entanto, seria uma trabalho árduo. Assim, o seguinte trabalho mostra como obter o termo geral da Seqüência de Fibonacci utilizando conhecimentos da Álgebra Linear: a Diagonalização de Operadores, e portanto computar termos quaisquer desta seqüência. Claramente que esta seqüência não é limitada superiormente, mas se tomarmos as razões de cada termo pelo seu antecessor, obteremos uma outra seqüência numérica limitada e convergente, cujo limite é o número de ouro 1,618033989 que mostraremos.  

 

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P03: Superfícies Cilíndricas para o Ensino de Cálculo Diferencial e Integral.

Objetivos: Desenvolver a pesquisa de materiais didáticos, facilitando o aprendizado em disciplinas básicas ministradas pelo Departamento de Matemática. Construir modelos concretos para serem utilizados em sala de aula nas disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral.

Resumo: A utilização de modelos matemáticos concretos constitui-se numa estratégica importante no ensino de Matemática, em todos os níveis. Neste trabalho, apresentamos a construção de modelos concretos envolvendo superfícies cilíndricas parabólicas que são utilizadas no ensino de disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral. Para a construção desses modelos, é necessário o conhecimento de tópicos de Geometria Diferencial como função comprimento de arco de curvas e parametrizações de curvas e superfícies. Para cada modelo concreto, é de extrema importância a determinação das funções que são as isometrias entre superfícies cilíndricas e superfícies planas. As superfícies cilíndricas parabólicas, juntamente com planos, delimitam sólidos cujos volumes são calculados utilizando integral. São determinadas as equações das curvas de interseção entre as superfícies. Essas curvas são projetadas no plano utilizando recursos computacionais. A partir daí, tem-se a planificação do conjunto de superfícies que vão delimitar o sólido no espaço. Além do conteúdo matemático e dos recursos computacionais, é escolhido o material adequado para a montagem e conclusão dos modelos concretos. Obtém-se, portanto, um material didático com arte final que dá uma boa visão geométrica e facilita a realização dos cálculos, contribuindo, assim, para o ensino de Matemática no nível superior. Obs: Esse trabalho foi desenvolvido como parte de um projeto do Programa de Capacitação para o Ensino Superior – P R O C E S, com a orientação da profa. Elinalva Vergasta deVasconcelos.  

 

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P04: Construindo Conceitos de Cálculo com o Auxílio do Software Graphmatica.

Resumo: O contexto contemporâneo da educação matemática vem sendo marcado pela crescente utilização das tecnologias informáticas. O uso destes recursos tem facilitado a apreensão do saber matemático ao permitir o desenvolvimento das habilidades de visualização, manipulação e reflexão, freqüentemente ausentes nas aulas tradicionais. Desta forma, a presente pesquisa visou desenvolver atividades explorando os conteúdos da disciplina Cálculo I através do software Graphmatica, promovendo, dentro de uma abordagem construtivista, a facilitação da compreensão dos conceitos matemáticos abstratos expostos pela disciplina.  

 

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P05: Aplicação da teoria de grupos na música.

Objetivos: Dentro do contexto de interdisciplinaridade propor um trabalho de coerência entre as duas ciências que são matemática e a música de maneira que a sutileza de uma contribua para aprimoramento e beleza da outra.

Resumo: Os teóricos da música e muitos compositores têm se preocupado com a criação de modelos analíticos que permitam a sistematização teórica de certas características estruturais e de certas relações entre os fenômenos sonoros existentes nos vários sistemas de escrita musical. Isso induz nosso trabalho à busca de apresentar um modelo matemático para o espaço musical e assim relacionar o grupo diedral das simetrias de um dodecágono regular com o grupo canônico constituído pelas transposições e inversões musicais. Se tomarmos M={dó, dó#, ré, ré#,...} o conjunto dos sons musicais e g a aplicação que a cada nota associa um número inteiro, obtemos um isomorfismo de M em Z. O problema de fazer uma transposição no espaço musical reduz se a somar inteiros através da aplicação g. Como conseqüência podemos definir uma função h no conjunto dos intervalos musicais no conjunto dos inteiros de modo que Z12 passa agora a ser identificado como o conjunto das 12 notas musicais. Observamos que as transformações no espaço musical podem ser interpretadas geometricamente como transformações do plano que aplicam os vértices de um polígono regular de 12 lados nele mesmo, identificando desta forma as 12 notas musicais com os 12 vértices do dodecágono regular. Esta identificação nos permite analisar com precisão alguns processos de transformações dos sons musicas que são habitualmente utilizados pelos compositores. Considerando dois importantes operadores musicais, a transposição e a inversão, e olhando os conjunto dos doze meios tons com Z12, observa-se que o conjunto formado pelas transposições e pelas inversões é um grupo, cuja representação geométrica é o grupo das transformações do plano formado pelas simetrias do polígono de 12 lados aos subgrupos do D12. Com tudo isso as características estruturais da música podem agora ser estudadas via o estudo da estrutura algébrica do modelo dos sons musicais.  

 

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P06: Ajuste de Curvas e Sistemas Mal-condicionados

Objetivos: Modelar problemas do cotidiano utilizando matemática aplicada, cálculo numérico e recursos computacionais.

Resumo: O trabalho conterá os tópicos descritos abaixo: O Método dos Quadrados Mínimos (MQM): caso discreto linear e não linear. Aplicação do MQM em modelos de crescimento populacional. Ajuste de curvas por parábolas (caso linear do MQM) e por função exponencial (caso não linear do MQM). Definição e exemplos de Sistemas Mal-condicionados. O objetivo é modelar o problema de crescimento populacional utilizando ajuste de curva e o método dos quadrados mínimos. Neste caso, para se encontrar a melhor curva, Q(a1, ...,am, x) =  [ak gk(x)], 1 £ k £ m, que se ajusta a uma tabela de pontos da forma (xi,yi), 1 £ i £ n, é necessário minimizar a função: E(a1,..., am) =  [Q(xi) – yi]2 (soma em i, com 1 £ i £ n). Note que a função Q é linear em relação aos parâmetros a1,..., am. As funções gk(x), 1 £ k £ m, são determinadas a partir da análise do diagrama de dispersão representado pelos pontos da tabela. No problema de crescimento populacional serão utilizadas funções do tipo g(x) = xj, com j Œ {0, 1, 2}. Os parâmetros a1, ..., am são obtidos a partir da solução do sistema linear com equações ?E/?ak = 0, 1 £ k £ m. Se as funções gk(x) forem linearmente independentes, então o sistema terá uma única solução que será o ponto de mínimo da função E. No caso de ajuste por parábola o sistema resultante será mal-condicionado.  

 

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P07: Discutindo situações de outras áreas do conhecimento na aula de matemática.

Objetivos: Aplicação da Matemática em outras áreas do conhecimento.

Resumo: Este trabalho propõe a discussão de três situações de outras áreas do conhecimento, a saber: consumo de energia elétrica, diária de um hotel e temperatura de uma cidade. Pretende-se observar como pode ser discutida, em sala de aula de matemática, as interações entre a matemática formal e os temas extra-matemáticos. A relevância desse trabalho se coloca na medida em que aponta a perspectiva de uma nova abordagem do ensino da matemática, na tentativa de torná-la mais interessante e motivadora para o aluno. Ao discutir problemas ligados à realidade, os alunos podem estar envolvidos num diálogo sobre a importância do uso da matemática em seu cotidiano, na tentativa de justificar o “para que serve a matemática?”. Palavras Chaves: motivação, extra-matemático, interação.  

 

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P08: Modelagem Matemática no Crescimento de Espécies Aquáticas.

Objetivos: O objetivo deste trabalho é estudar o crescimento de espécies aquáticas. A ferramenta matemática empregada neste estudo é equações diferenciais ordinárias; em particular, utilizamos o modelo de Von Bertalanffy para calcular o crescimento, em comprimento e em peso, das tilápias. Com abordagem similar, estudamos o crescimento do crustáceo, Aegla castro, que tem um papel importante nos ecossistemas dos rios do sul do Estado de São Paulo.

Resumo: A Biomatemática é uma área emergente devido à possibilidade de aprofundar quantitativamente os estudos biológicos. O surgimento de novas teorias matemáticas e recursos computacionais tem colaborado para formular matematicamente os fenômenos biológicos. Para calcular o crescimento, em comprimento e em peso, das tilápias a partir de dados coletados pelo Centro de Pesquisas Ictiológicas de Pentecostes (CE), utilizamos ajuste linear e as equações (1) e (2) de Von Bertalanffy l(t) = l (1 – e-kt) (1) p(t) = p (1 – e-kt)3 (2) onde l é o comprimento limite quando , e p é o peso limite quando . Um estudo similar foi realizado para o crescimento em comprimento do crustáceo, Aegla castro, encontrado no sul do Estado de São Paulo, no fundo do rio, sob pedregulhos, bem como próximo às margens, oculto sob restos de vegetação e sob raízes e troncos caídos. Estes cálculos foram realizados analisando-se o comprimento médio da carapaça (da ponta do rostro até seu bordo posterior) dos animais coletados, que foram divididos em cinco classes segundo o estágio reprodutivo. Essas classes foram denominadas de jovens, fêmeas jovens, fêmeas maturas, fêmeas ovígeras e machos. Este animal é muito sensível a perturbações ambientais provocadas pelo homem. Assim, devido à fragilidade desta espécie frente à degradação ambiental, o conhecimento da dinâmica dessas populações, certamente trará importantes subsídios para eventuais recuperações de ecossistemas de águas continentais. O Aegla castro possui diferentes taxas de crescimento devido a seus estágios reprodutivos.  

 

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P09: Módulos de Frações.

Objetivos: Apresentar a construção do Módulo de Frações e tratar casos especiais.

Resumo: Nesse trabalho apresentamos a Localização de um Módulo.
Definição 1:
  Dizemos que S contido em M é um subconjunto multiplicativamente fechado de A se 1 está em S e se dados s1, s2 em S vale que s1s2 em S (ou seja, S é fechado pela multiplicação).
Dado um subconjunto multiplicativamente fechado S contido em A, este define uma relação º sobre o produto cartesiano M × S dada por
(a1, s1) º (a2, s2) Û (a1s2 - a2s1)u Î A para algum u Î S.
É fácil verificar que a relação º é de fato uma relação de equivalência sobre A × S; denotaremos por S-1A o conjunto de suas classes de equivalência e denotaremos a classe de equivalência de (a, s) Î A×S por a/s. O conjunto S-1A tem uma estrutura de anel quando munido das seguintes operações:
a/s + b/t := (at + sb)/st e a/s · b/t := ab/st

Exemplos:
1) Observe que se A é um domínio temos que (como não existem divisores de zero) o conjunto A\ {0} é um subconjunto multiplicativamente fechado de A, e a construção acima é exatamente a construção do corpo de frações de A.
2) Lembramos que um ideal próprio p Ì A é dito primo se sempre que ab Î p temos que a Î p ou b Î p. Daí é fácil verificar que S := A\ p é um subconjunto multiplicativamente fechado de A. O anel das classes de equivalência S-1A nesse caso é denotado por Ap e é chamado de localização de A em p.
Assim, por exemplo, se tomamos A = Z e p = 5Z temos que Z5Z é o subanel de Q formado pelas frações cujo denominador não é divisível por 5. Observe que esse exemplo continua válido se substituirmos 5 por qualquer número primo. Observe também que o exemplo acima é um caso particular desse, pois A é um domínio se e só se (0) é um ideal primo.
3) Tome A = Z e S = {1, 5, 52, 53, 54, . . .}. Nesse caso, S-1A é o subanel de Q formado pelas frações cujo denominador é uma potência (talvez igual a 0) de 5 (aqui, novamente, podemos substituir 5 por qualquer primo). O próximo resultado apresenta uma propriedade fundamental de  S-1A, e nele usamos que a aplicação j: A ® S-1A, definida por a ® a/1, é um homomorfismo de anéis.
Teorema 2:
Sejam A e B anéis e S Ì A um subconjunto multiplicativamente fechado. Seja             a : A ® B um homomorfismo de anéis tal que g(s) é um invertível de B para todo s Î S. Então existe um único homomorfismo de anéis b : S-1A ® B tal que a = boj
O homomorfismo j : A ® S-1A tem as seguintes propriedades:
a) s ÎS Þ j (s) é invertível em S-1A;
b) j (a) = 0 Þ as = 0 para algum s Î S;
c) Todo elemento de S-1A é da forma j (a) j (s)-1 para algum a Î A e algum s Î S. O resultado abaixo é uma conseqüência do teorema 2 e mostra que essas propriedades de fato caracterizam S-1A(a menos de isomorfismos).
Corolário 3:
Se  f : A ® B é um homomorfismo de anéis tal que:
a) s ÎS Þ f (s) é invertível em B;
b) f (a) = 0 Þ as = 0 para algum s Î S;c) Todo elemento de B é da forma  f (a) f(s)-1 para algum a Î A e algum s Î S; então existe um único isomorfismo f : S-1A ®  B tal que f = roj.

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P10: O Teorema da Representação de Grupos.

Objetivos: Introduzir o estudo da teoria dos grupos; Apresentar o Teorema de Cayley Incentivar o uso de software matemático, como um facilitador da aprendizagem no estudo de álgebra.

Resumo: Faremos uma pequena introdução ao estudo da teoria dos grupos utilizando o software de computação algébrica maple, visto que o mesmo pode ser utilizado de forma eficaz no estudo de álgebra abstrata. Neste trabalho, apresentaremos o Teorema da Representação de Grupos, que é o um dos principais teorema da teoria dos grupos.  

 

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P11: Classificação de Cônicas e Cúbicas.

Objetivos: O objetivo deste painel é apresentar uma classificação de cônicas e cúbicas. 

Resumo:O nosso resultado principal é: i) Uma cônica é singular se, e somente se, ela é redutível; ii) Se [F] é uma cônica não singular, então existe uma transformação T de P2(k) tal que FT=X2 – YZ; iii) Uma cúbica nodal é projetivamente equivalente à curva X3+Y3-X Y Z; iv) Uma cúbica cuspidal é projetivamente equivalente a uma das seguintes curvas: X3- Y2Z ou X3-Y2Z-X2Y. Essas curvas são projetivamente equivalentes se, e somente se, char k p3 , onde k é o corpo base.

 

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P12: A Simplicidade do A5.

Objetivos: Apresentar uma demonstração geométrica da simplicidade do grupo A5.

Resumo: O estudo do A5, grupo formado por todas as permutações dos números 1, 2, 3, 4 e 5 , como um grupo simples não trivial teve como subsídio fundamental a teoria dos grupos. O estudo da extrutura de grupos, subgrupos e suas características gerais possibilitou a compreensão do comportamento dos grupos de permutação, em particular o grupo A5. O A5 é o primeiro grupo simples não trivial cuja simplicidade pode ser mostrada geometricamente através do isomorfismo entre este e o grupo das rotações de um dodecaedro regular. Obs: "A Simplicidade do A5" é parte integrante de um projeto desenvolvido de iniciação científica realizado na Universidade Federal da Bahia no período de jul 2002 à jul 2003. O poster em questão foi apresentado no Seminário Estudantil de Pesquisa e Pós-Graduação na Universidade Federal da Bahia em Dez 2003 , tendo agora a oportunidade de ser divulgado para um público maior.  

 

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P13: MatHSoliD (um software de visualização de sólidos platônicos e arquimedianos) e MatHProjectioN (um software de visualização de projeções cartográficas).

Objetivos: Apresentar a comunidade acadêmica dois applets JAVA (gratuitos) em matemática/cartografia: MatHSoliD: um software de visualização da deformação de sólidos platônicos e arquimedianos em seus modelos planares e MatHProjectioN: um software de visualização de projeções cartográficas.

Resumo:Com uma bolsa de iniciação científica da FAPESB, Eduardo Teles da Silva, no projeto "Desenvolvimento de Applets JAVA em Matemática/Cartografia", implementou dois applets JAVA. O primeiro, MatHSoliD, faz a deformação contínua de um sólido platônico ou arquimediano em seu modelo planar. A figura 1, a seguir, exibe a interface do programa com o cuboctaedro parcialmente deformado. MatHSoliD, disponível no endereço http://www.mat.puc-rio.br/~hjbortol/mathsolid/, é uma opção gratuita para softwares comerciais do gênero (Poly da Pedagoguery Software Inc. e Great Stella de Robert Webb). O segundo, MatHProjectioN, permite a visualização de projeções cartográficas, criando um ambiente de estudo dos vários tipos de deformações inerentes a cada projeção. MatHProjectioN também é gratuito e está disponível em http://www.mat.puc-rio.br/~hjbortol/projection. A figura 2, a seguir, exibe a interface do programa com a projeção gnomônica azimutal.

 

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P14: A Topologia dos Conjuntos Convexos.

Objetivos: Apresentar a importância da Geometria Convexa em outras áreas da Matemática assim como as particularidades da Topologia dos Conjuntos Convexos.

Resumo:Convexidade é uma propriedade de determinados conjuntos que contêm, ao longo de quaisquer dois de seus pontos (distintos), o segmento de reta que os une. Esta simples propriedade algébrica possui surpreendentes conseqüências, tanto de natureza geométrica quanto topológica. Destacam-se ainda, as propriedades combinatórias destes conjuntos, as quais envolvem a cardinalidade dos mesmos.Neste trabalho, destacaremos os aspectos topológicos dos conjuntos convexos. Em particular, daremos ênfase ao fato de que todo conjunto convexo possui pontos interiores relativos. Tal propriedade é de total relevância em técnicas avançadas de Otimização como o Método dos Pontos Interiores. Ademais, trataremos de conceitos inteiramente topológicos como fecho e interior (de um conjunto convexo) sobre uma base puramente algébrica, o que não é possível para os conjuntos em geral. Em paralelo, abordaremos conceitos da Geometria Convexa como casca convexa, conjunto independentemente afim, simplex, entre outros. Desta forma, contemplaremos a influência da Geometria Convexa em outras áreas da Matemática, em especial na Programação Linear e Não Linear. A maioria dos problemas de Otimização é constituída por conjuntos convexos, que aparecem a partir da região factível (conjunto de restrições) de tais problemas, e por funções convexas, que formam tanto o conjunto de restrições quanto a função critério a ser otimizada. Conseqüentemente, alguns métodos de resolução empregados na Otimização estão assentados sobre a Teoria da Convexidade.  

 

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P15: A geometria da capoeira.

Objetivos: Mostrar, através da capoeira, como a matemática pode estar inserida no cotidiano dos estudantes.

Resumo: A matemática é uma ciência universal, ou seja, usada por todos, sem exceção. Todo povo, toda etnia, efetua operações matemáticas, mesmo que não as reconheçam como tal. Esta ciência está fortemente envolvida no nosso dia-a-dia. Principalmente a geometria, sendo ela plana ou espacial, mesmo que não conseguimos identificá-las. O multiculturalismo agrega diferentes formas de conhecimento, de interpretar e interagir com o mundo. A valorização em sala de aula do conhecimento adquirido através do grupo cultural ao qual pertence, faz com que o educando se sinta mais à vontade com o conhecimento científico. Trabalhando com fundamentos da etnomatemática, buscou-se valorizar o conhecimento matemático de um grupo cultural, fazendo uma ponte entre o conhecimento científico e o conhecimento comum, proporcionando condições para que o aluno possa participar ativamente do processo ensino-aprendizagem, construindo seu conhecimento através do pensar, do criar e do trabalhar em grupo.

 

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P16: Introdução ao Método de Elementos Finitos.

Objetivos: Apresentação básica do método de elementos finitos e sua aplicação.

Resumo: Elementos finitos são ferramentas importantes para encontrar numericamente as soluções estacionárias das equações diferenciais parciais, o que acontece freqüentemente na engenharia. Neste trabalho, será feita uma abordagem básica sobre o método de elementos finitos e será apresentado um exemplo de sua aplicação na obtenção da solução numérica do problema de distribuição térmica na chapa cuja temperatura nas bordas são mantidas fixas e/ou o problema da membrana elástica acomodada numa moldura.  

 

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P17: Princípios de Cálculo Variacional.

Objetivos: Apresentar alguns princípios do Cálculo Variacional, alguns problemas e exemplos e também a resolução dos problemas relacionados utilizando o software Mathematica.

Resumo: O Cálculo Variacional tem sido uma ferramenta poderosa no estudo de vários problemas das mais variadas áreas do conhecimento como: Física-Matemática, Engenharia, Física Moderna, Matemática Aplicada, entre outras. Alguns conceitos do cálculo variacional são antigos, os mais primitivos surgiram por volta do ano 300 a.C. Em torno de 1696, os irmãos Bernoulli (Jean e Jacques) e Leibniz tentaram solucionar o problema de determinação de uma curva ao longo da qual uma partícula desliza no menor tempo possível, sob gravidade, de um ponto dado a um segundo ponto abaixo, mas não na mesma reta vertical – problema da Braquistócrona. Jacques Bernoulli foi um dos primeiros a obter a solução correta. Hoje, com o uso de formulações variacionais para as leis da Física, torna-se possível concentrar em um único funcional todos os aspectos intrínsecos do problema em questão: as equações que descrevem os fenômenos, as condições de contorno, as condições iniciais, as condições de restrição e algumas vezes algumas condições de salto. As formulações variacionais podem servir não apenas para unificar campos, mas também para sugerir novas teorias e fornecer maneiras poderosas de estudar a existência e solução de diversas equações diferenciais parciais. A diferença entre os cálculos diferencial e variacional é o domínio dos respectivos objetos a serem maximizados ou minimizados. Enquanto o cálculo diferencial procura números com propriedades otimizadoras, o cálculo variacional procura funções com propriedades otimizadoras. O objetivo deste trabalho é apresentar os princípios do cálculo variacional e alguns problemas resolvidos pelos métodos variacionais, bem como o desenvolvimento de problemas relacionados com o emprego do software Mathematica. Observou-se que o cálculo variacional constitui uma ferramenta poderosa para explicar e compreender alguns fenômenos da natureza onde ocorre otimização.  

 

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P18: Uso das redes neurais na previsão da precipitação pluviométrica em Lavras - MG.

Objetivos: Mostrar como as redes neurais podem se mostrar eficientes na previsão de séries temporais.

Resumo: A água é um recurso natural renovável, essencial à vida. Além de ser fundamental em quase todos os processos vitais dos seres vivos, o homem busca, cada vez mais, utilizar deste recurso para seu benefício e bem-estar. Dentre as suas múltiplas utilidades, podemos citar a geração de energia elétrica, navegação, pesca, turismo, irrigação suplementar de lavouras, usos diversos na industria, entre outras. Visto a importância da precipitação para toda a humanidade, torna-se de fundamental importância o conhecimento de sua distribuição temporal e espacial, bem como o modo de sua ocorrência.As Redes Neurais Artificiais são técnicas computacionais que apresentam um modelo matemático inspirado na estrutura neurônica de organismos inteligentes e que adquirem conhecimento através da experiência. Elas possuem, dentre suas diversas aplicações, capacidade de reconhecer padrões e assim podem atuar como previdentes. O uso das Redes Neurais Artificiais na previsão de séries temporais tem se mostrado muito eficiente em diversos ramos da ciência humana, muitas vezes auxiliando os profissionais nas tomadas de decisão e na otimização de projetos.O presente trabalho tem por objetivos principais mostrar como funciona uma rede neural e apresentar resultados práticos de uma rede montada para atuar na previsão da precipitação pluviométrica no município de Lavras, Minas Gerais, através de dados históricos para a região.  

 

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P19: Uso das Séries de Fourier na modelagem matemática da temperatura do solo em Lavras, Minas Gerais.

Objetivos: Apresentar uma metodologia empregada para modelar a temperatura do solo utilizando Séries de Fourier aplicadas a dados reais para o município de Lavras, Minas Gerais.

Resumo: A temperatura do solo pode ser descrita por uma série representada pelo somatório de termos seno e coseno (Séries de Fourier). Pela da utilização das técnicas padrões de regressão linear dos mínimos quadrados sobre os dados da temperatura superficial do solo, pode-se encontrar as amplitudes de cada um dos termos da série, para quantas harmônicas forem necessárias, buscando minimizar as diferenças entre os dados reais e os dados modelados. Para a modelagem em todo o perfil do solo, é necessário que a série seja representada na forma envolvendo amplitudes e fases. Conforme proposto por Fourier, para o caso da condução de calor o problema dos valores de contorno é um problema linear homogêneo, as soluções serão um espaço vetorial. Utilizando o principio da superposição será encontrada uma família com todas as soluções, encontrando uma série para a temperatura do solo variável no tempo e na profundidade. Mais uma vez utiliza-se o método de regressão linear dos mínimos quadrados para encontrar o parâmetro de decréscimo da amplitude e do ângulo de fase para cada harmônica na superfície do solo, em função da profundidade para, por fim, modelar as ondas de calor no perfil do solo e avaliar a eficiência da modelagem, verificando a porcentagem da variância dos dados reais que foi representada pelos dados do modelo ajustado. O presente trabalho tem por objetivos demonstrar o procedimento adotado para a modelagem da temperatura do solo utilizando Séries de Fourier adaptadas a dados reais coletados através de pares termoelétricos.

 

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P20: Máquinas que Constroem Cônicas.

Objetivos: Apresentar máquinas que constroem cônicas desenvolvidas ao longo da história, mostrando seu funcionamento e demonstrando teoremas associados aos conceitos desenvolvidos pelas máquinas. Além disso, descrever seqüências didáticas para uso em sala de aula.

Resumo: As cônicas são curvas de grau menor ou igual a dois, que desempenham relevante papel em diversas áreas do conhecimento, como podemos verificar na matemática, na física, na astronomia e etc. As máquinas que serão apresentadas visam através de desenhos perfeitos, facilitar o conhecimento das propriedades e características próprias de curvas estudadas normalmente com o auxílio de esboços de gráficos, que não permitem a visualização das mesmas. Descrevendo uma seqüência didática com linguagem clara, visamos um aproveitamento maior para educadores e educandos durante o processo ensino-aprendizagem, na medida em que as cônicas desenhadas corretamente deverão facilitar o processo de construção de determinados conceitos a serem visualizadas concretamente e observados pelo estudante e pelo professor, observando-se assim fenômenos complexos como as propriedades que a teoria sugere.  

 

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P21: Os sistemas numéricos da Matemática.

Objetivos: Descrever as origens dos conjuntos numéricos, e as motivações que levaram os homens a criar, desenvolver e aplicar tais sistemas numéricos.

Resumo: O trabalho começa com a passagem dos números naturais, que se originaram na necessidade natural do homem de contar objetos, para os números racionais. Tal passagem se deu quando os homens perceberam que, além de contar, os números também servem para medir grandezas. Mas, independentemente da unidade escolhida, nem todas as medidas são múltiplos inteiros da unidade, daí a necessidade de se introduzir frações da unidade, e conseqüentemente os números racionais positivos. A possibilidade de somar e multiplicar adequadamente as frações de números inteiros permitiu que esses objetos ganhassem o status de números, generalizando assim o conjunto dos números naturais. Nessa passagem dos naturais para os racionais exploraremos a impossibilidade da divisão por 0. Subtrações do tipo b – a com a e b naturais e b > a sempre foram feitas, e a necessidade de estender essa operação para quaisquer naturais a e b levou à consideração dos números inteiros, e conseqüentemente aos números racionais negativos, completando assim a passagem para os números racionais.Arepresentação geométrica dos números racionais sobre uma reta e a descoberta dos incomensuráveis por Pitágoras mostraram que os racionais não preenchem toda a reta, e portanto existem medidas que não podem ser expressas por meio de racionais. Daí a necessidade de estender uma vez mais o sistema numérico existente, culminando com a introdução dos números irracionais e dos números reais. Exploraremos a definição de números irracionais por intervalos encaixados e pelos cortes de Dedekind.A partir daí o trabalho analisa os conjuntos dos números racionais, irracionais e reais sob a perspectiva da teoria de conjuntos de Cantor, especialmente quanto à enumerabilidade. O trabalho termina com um estudo sobre as origens dos números complexos, suas operações e propriedades, culminando com o Teorema Fundamental da Álgebra.  

 

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P22: O Jogo de Dominó para o Estudo da Lógica.

Objetivos: Apresentar conhecimentos lógicos de maneira lúdica, através de um passatempo de um conhecido por todos: o jogo de dominó.

Resumo: Como o jogo de dominó comum, este dominó possui 28 peças e um total de 56 expressões. São 20 peças escritas na vertical, (a vertical foi prioridade para as expressões, de maneira que fiquem centralizadas e mais curtas) e 8 peças na horizontal (para expressões com mais de 4 operadores). Valorizam-se as propriedades mais utilizadas em lógica formal destacando-se: Propriedade de F, Propriedade de V, Propriedade Complementar, Elemento Neutro, Idempotente, Absorção, “De Morgan”, Condicional e Dupla Negação.Os resultados possíveis para o dominó são 0 (para falso) e 1 (para verdade) valendo-se do “átomo” a, isto é, são três resultados possíveis para cada expressão; sendo 20 resultados com o valor 0, 20 com o valor 1 e 16 com o valor a. Na versão inicial, os resultados balizavam-se entre 0 e 1, conseqüentemente, as expressões tornaram-se mais longas e com maior grau de dificuldade. Obtinha-se como resultado final somente os símbolos 0 e 1. Com isso, não havia passe e, conclusão, quem iniciava a partida tornava-se ganhador. A versão atual, (que será apresentada), inclui como resultado o átomo a, para ampliar as opções de jogo. E assim, valoriza-se outras propriedades que se fazem necessárias ao estudo da lógica, assim outras questões podem ser abordadas, como por exemplo: “Será que todas expressões que tenham a, resultam em a?”.A jogabilidade é semelhante ao Dominó, inclusive o número de participantes e seus métodos. Em um jogo de dominó, ganha quem acaba com todas as peças primeiro, mas neste dominó para lógica, todos os participantes ganham. Este jogo tem por objetivo, fazer com que o estudante de lógica se familiarize com as expressões e memorize as equivalências, facilitando a capacidade de cálculo. Não há quem consiga chegar ao fim do jogo, sem conhecer lógica, ou seja, há familiaridade com as expressões. E com o auxílio da prática, há o aumento progressivo de facilidade no cálculo e memorização de equivalências. Com isso, um dos objetivos é alcançado. È necessário ressaltar que a metodologia de ensino utilizada durante a aprendizagem de conceitos abstratos é de extrema importância. Aprender de maneira estimulante e com materiais inovadores favorece o entendimento do assunto apresentado. O “Dominó de Lógica” é um exemplo deste material, desde que exposto por alguém capacitado, tanto em lógica, quanto em criatividade. È necessário ressaltar que a metodologia de ensino utilizada durante a aprendizagem de conceitos abstratos é de extrema importância. Aprender de maneira estimulante e com materiais inovadores favorece o entendimento do assunto apresentado. O “Dominó de Lógica” é um exemplo deste material, desde que exposto por alguém capacitado, tanto em lógica, quanto em criatividade.

 

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P23: Funcionais Lineares de Espaços de Seqüências.

Objetivos: Introduzir, a partir dos espaços euclidianos, um estudo dos espaços de seqüências reais.

Resumo: Trata-se de um estudo da Análise Funcional num caso simples: dos espaços l p. Para isto, apresentamos sua construção a partir dos espaços euclidianos, bem como algumas propriedades que os diferem dos anteriores. Definindo funcional linear contínuo, estudamos a teoria dos espaços duais no nosso caso, e o Teorema de Extensão de Funcionais Lineares (Teorema de Hahn-Banach). Aplicamos o resultado aos espaços de seqüências e, usando as bases de Hamel, concluímos alguns resultados gerais para espaços de dimensão infinita.

 

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P24: Otimização de janelas e software Cabri-Géomètre II.

Objetivos: Apresentar construções geométricas relacionadas ao problema de otimização de luminosidade em diversos tipos de janelas.

Resumo: Na linha da otimização envolvendo formas e trajetórias, um problema se apresenta de forma natural: tomando diversos estilos de janelas, podemos considerar a área (quantidade de luminosidade) da janela e o perímetro das esquadrias (ou armações) das mesmas. Desta forma, surge o problema de maximização da luminosidade tendo fixado uma determinada quantidade de esquadrias. O problema dual também se faz pertinente: fixada a área, minimizar a quantidade de esquadrias. Esse problema é estudado em diversos tipos clássicos de janelas tais como: janelas com arcos romanos (ou normandos), ogivais, ferraduras, trilobados, triangulares ou abatidos, sendo que cada um desses tipos, possui suas características próprias de modelagem matemática. Além de utilizar o Cálculo Diferencial para a abordagem dos problemas, utilizamos o software de geometria dinâmica Cabri-Géomètre II para efetuar animações e estudos intuitivos em cada tipo de janela, o que possibilita uma análise mais precisa de cada caso e, também, uma verificação das soluções encontradas pelos métodos analíticos.  

 

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P25: Estudo de um modelo de equações diferenciais ordinárias para descrever a dinâmica de infecção pelo HIV.

Resumo: A dinâmica de infecção pelo HIV em pacientes infectados é caracterizada por duas fases: i) a infecção primária, caracterizada por uma grande disseminação viral durante a montagem da resposta imunológica específica, seguida de um decréscimo da taxa viral; ii) o período de latência durante o qual a taxa viral é baixa e há um decréscimo na contagem das células T CD4+. Quando a contagem de células T atinge cerca de 20 - 30% da de um indivíduo saudável, o paciente adquire a síndrome da imunodeficiência adquirida. Enquanto a infecção primária ocorre em um intervalo de tempo curto (~ semanas), com uma aparente recuperação do organismo, a segunda fase ocorre em uma escala de tempo muito maior (~ anos) e, se não combatida por agentes antiretrovirais, leva o paciente à morte pela ação de outros patógenos. Em 2001, Zorzenon dos Santos e Coutinho [Phys. Rev. Lett. 87, n. 168102-1 (2001)] propuseram um modelo de autômatos celulares capaz de descrever de maneira adequada todas as fases da infecção por HIV. Neste trabalho consideramos um modelo de equações diferenciais ordinárias com retardo temporal para a descrição da interação sistema imunológico - HIV, levando-se em conta as mesmas etapas descritas no modelo de autômato celular. A partir de análises dos pontos fixos e de integração numérica das equações diferenciais obtêm-se resultados que reproduzem a presença de escalas de tempo distintas para as duas fases da infecção.  

 

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P26: Percepções geométricas: atividades relacionadas aos níveis básicos do modelo de van Hiele.

Objetivos: Abordar o modelo van Hiele de desenvolvimento do pensamento geométrico; Avaliar uma proposta pedagógica de atividade fundamentada nos níveis iniciais do modelo van Hiele.

Resumo: Inicialmente descrevemos o modelo de desenvolvimento do pensamento geométrico estruturado pelo casal van Hiele, educadores holandeses, quando do desenvolvimento dos trabalhos de doutoramento dos mesmos. Esta descrição abrange os cinco níveis de compreensão que descrevem as características do processo de raciocínio em geometria, como também as propriedades e fases seqüenciais do modelo. Posteriormente, estruturamos atividades, com material concreto e/ou programas computacionais, e grupos de acompanhamento, experimental e de controle compostos por alunos do ensino fundamental, onde os trabalhos de intervenção pedagógica, agregados à dinâmica do modelo de van Hiele, foram aplicados e analisados.  

 

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P27: A equação de Euler-Lagrange e o problema da Braquistócrona.

Objetivos: Divulgar nosso trabalho de iniciação científica que vem sendo realizado desde fevereiro de 2003 junto ao Ibilce-Unesp com bolsa Fapesp. Apresentaremos o problema clássico da Braquistócrona e usaremos a teoria de Cálculo das Variações para resolver tal problema.

Resumo: A Teoria do Cálculo das Variações pode ser usada na modelagem de diversos problemas de Física, Biologia e Ciências da engenharia. Neste trabalho, apresentaremos alguns conceitos básicos desta teoria. Em particular, estaremos interessados na Equação de Euler-Lagrange que fornece condições necessárias para minimização de um dado funcional. A título de exemplo, resolveremos o Problema Clássico da Brasquistócrona que contribuiu fortemente no seu desenvolvimento inicial.  

 

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P28: Grupos de Simetrias via Maple.

Objetivos: Determinar os subgrupos do grupo das permutações dos vértices dos sólidos platônicos, via Classes de conjugação, Determinar quais dessas permutações é um movimento rígido;, Estudar as ações destes grupos sobre os vértices e as faces do sólido que lhes originaram;, Calcular as classes de conjugação, seus subgrupos, e subgrupos normais;. Verificar se alguns dos grupos obtidos é um produto direto ou um produto semi-direto de seus subgrupos.

Resumo: As simetrias de uma figura no espaço euclidiano são isometrias que preservam a forma da figura. Consideraremos o grupo de simetrias rotacionais pertencente a classe dos subgrupos do grupo das permutações dos vértices de um sólido.Os sólidos platônicos são em número de cinco, são eles:O tetraedro, o hexaedro, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro.Mostraremos que os grupos de simetrias rotacionais dos sólidos platônicos listados acima são isomorfos aos seguintes grupos :A4, S4, S4, A5 e A5, respectivamente, onde S4 é o grupo das permutações de ordem 24, A4 é o subgrupo de S4 formado pelas permutações pares e tendo ordem 12, e A5 é o subgrupo de S5 formado pelas permutações pares de ordem 60. Dentro destas considerações vamos desenvolver alguns programas no software Maple com o intuito de estar visualizando estes grupos de simetrias, e de estar calculando as classes de conjugação, os subgrupos, os subgrupos normais, a ação destes grupos sobre o conjunto dos vértices e das faces da figura que lhes originaram. Além disso, vamos verificar quais dos grupos de simetrias são produtos diretos ou produtos semi-diretos de seus subgrupos.  

 

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P29: Análise Funcional aplicada à Otimização Infinita.

Objetivos: Resolver problemas práticos de Otimização Infinita tendo como base a Teoria de Análise Funcional.

Resumo: Os Problemas de Otimização em dimensão infinita aparecem em várias situações, tais como: trajetória da luz num meio plano, envio dum veículo espacial à lua, etc... Todavia, devido à sua complexidade, estes problemas não são fáceis de serem tratados, o que dificulta a resolução dos mesmos utilizando os métodos clássicos da otimização. Neste trabalho, serão tratados alguns exemplos práticos de problemas de otimização infinita de pequeno porte, utilizando os conceitos e propriedades da teoria da análise funcional e das equações diferenciais. Primeiramente, serão apresentadas algumas definições e importantes resultados, como o espaço de Banach e o de Hilbert. Em seguida, os modelos matemáticos dos problemas de otimização infinita serão contruídos e as respectivas análises das soluções obtidas.  

 

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P30: O quinto postulado de Euclides.

Objetivos: Fazer um estudo abrangente do V Postulado de Euclides apresentando inicialmente algumas tentativas de "prova" do mesmo que, como veremos, sempre acabam usando uma afirmação equivalente ao V postulado.

Resumo: A geometria, na forma como a conhecemos hoje, teve seu ponto inicial na Grécia, no tempo de Ptolomeu I, quando Euclides escreveu os Elementos (por volta do ano 300 a.C.). Ao escrever esta obra, na qual ele fez uma compilação dos resultados matemáticos conhecidos até então, Euclides introduziu alguns postulados (ou axiomas) a partir dos quais ele "demonstra" todas as 465 proposições dos Elementos. Dos postulados apresentados por Euclides o quinto é o mais controverso: comparado aos demais ele realmente não tem aspecto de postulado, mas sim, de teorema. A partir desta constatação vários matemáticos tentaram prová-lo como conseqüência dos demais postulados. Destacam-se entre estes Proclus, Nasiredin, Wallis, Saccheri, Lambert, Gauss, Bolyai, Lobachewsky e Legendre. Neste trabalho apresentamos duas destas tentativas de prova do V postulado de Euclides, uma devida a Legendre e outra a Bolyai. Na seqüência mostramos que estas "demonstrações" são incorretas pois em algum ponto da "prova" usa-se Ïma afirmação equivalente ao V postulado.  

 

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P31:A evolução dos métodos de determinação de raízes complexas de equações polinomiais.

Objetivos: Expor para os presentes uma revisão sobre a evolução das soluções das raízes complexas das equações polinomiais.

Resumo: O trabalho através da busca de fatos históricos relacionados a evolução das equações polinomiais relata o quanto mais penosa era antigamente a luta pelo aprendizado, valorizando os desbravadores que com coragem, talento e perseverança, desvendaram para as gerações seguintes as maravilhas do conhecimento. Além de desenvolver e aplicar um eficiente algoritmo para o cálculo de raízes polinomiais complexas, associando o polinômio em fatores quadráticos. O encadeiamento das descobertas matemáticas ao longo do tempo e o papel desempenhado nelas pelos diversos matemáticos podem atuar como fatores motivacionais. Em vista das dificuldades apresentadas com o estudo desta unidade e até mesmo a falta de recursos para a obtenção das raízes complexas de um polinômio. O objetivo deste trabalho é propor um eficiente algoritmo para o calculo de raízes complexas, bem como interar o leitor de episódios que marcaram a crescente estrutura matemática acerca das equações polinomiais.

 

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P32: Abordagem Geométrica de Equações Diferenciais Parciais de Primeira Ordem.

Resumo: A modelagem matemática de alguns problemas advindos da Física, Química, Biologia e Engenharia requerem a determinação de uma função satisfazendo uma equação do tipo: (1) como por exemplo em dinâmica de gases, ou mais geralmente: (2) onde é uma função conhecida. O caso particular em que , modela situações que ocorrem em Ótica Geométrica. Nosso objetivo neste trabalho é desenvolver um método de resolução de (1) e (2) olhando tais equações como uma restrição geométrica na superfície , gráfico da solução u. Simulações computacionais serão realizadas e comparadas em alguns softwares, mostrando como essas ferramentas podem ser utilizadas no estudo de eventuais singularidades da solução, aparecimento de ondas de choque, dentre outros aspectos. Será dada uma idéia de como os teoremas clássicos de existência de soluções de equações diferenciais ordinárias e o teorema da função inversa podem ser empregados para provar existência de solução para as equações diferenciais parciais mencionadas acima. Finalmente comentaremos algumas vantagens e também restrições do método.  

 

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P34: Estabilidade para Sistemas de Controle.

Objetivos: Divulgar o trabalho de iniciação científica que vem sendo realizado desde fevereiro de 2003 junto ao Ibilce-Unesp com bolsa da Fapesp.

Resumo: Neste trabalho, examinamos os conceitos de estabilidade de sistemas invariantes no tempo (sistemas estáticos). O estudo de estabilidade de sistemas com tempo variante é muito importante. Entretanto, pode acontecer que a obtenção de condições de estabilidade para estes sistemas seja muito complicado, enquanto que os resultados para os sistemas estáticos sejam obtidos de forma extremamente simples. Mas, as idéias básicas podem ser muito bem ilustradas no caso estático. Assim, neste trabalho introduzimos as noções de controlabilidade assintótica. Fornecemos condições necessárias e suficientes para controlabilidade assintótica para sistemas lineares. No caso de sistemas não lineares, verificamos que as condições de Lyapounov são suficientes para controlabilidade assintótica.

 

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P35: Algoritmo prático para extração de raízes aritméticas n-ésimas de números reais.

Objetivos: Desenvolver um método para cálculo de raízes.

Resumo: Neste trabalho desenvolvemos uma fórmula prática que encontra identidade no método de Newton para se calcular raízes n-ésimas aritméticas de números reais. Esta apresenta-se bastante simples comparada a alguns outros métodos existentes, os quais são complexos ou de difícil manuseio. Fica assim uma falha e muitos ficam por não saber como obter o valor numérico exato ou por uma determinada aproximação das raízes podendo assim todo o cálculo matemático se tornar sem eficiência em determinadas situações. O objetivo foi proporcionar uma fórmula objetiva que utilize apenas operações elementares, adição, subtração, multiplicação e divisão, para que um aluno de 7º série possa calcular raízes n-ésimas qualquer sem o uso de calculadora, visto também que é vedado o uso de dispositivos eletrônicos em vestibulares e concursos públicos. A fórmula proposta nos dá um erro de duas casas decimais (10-2) no resultado e por isto foi desenvolvido um método para otimização do resultado possibilitando assim que alcancemos a precisão de casas decimais desejada. Fica assim uma falha e muitos ficam por não saber como obter o valor numérico exato ou por uma determinada aproximação das raízes podendo assim todo o cálculo matemático se tornar sem eficiência em determinadas situações.

 

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P36: Aspectos sobre Funções Aplicados no Ensino Médio; Experiências Concretas.

Objetivos: Participar, enquanto alunos, de uma importante exposição de temas matemáticos. Contribuir de forma efetiva para o progresso da Matemática no Estado da Bahia.

Resumo: Esta atividade visa trazer aos professores de Matemática do Ensino Médio e alunos da Licenciatura de Matemática algumas formas diferentes de trabalhar e analisar situações diferentes do dia-a-dia através do estudo de funções matemáticas, explorando vários aspectos: limites, assíntotas, pontos críticos (máximos / mínimos / pontos de inflexão), interseção com os eixos, domínio de validade, contradomínio/imagem. Trabalharemos as funções: exponencial e/ou logarítmica e/ou trigonométrica e/ou racioonal já modeladas. Os modelos trazidos serão representados graficamente com recurso ao Winplot, e com referências à manipulação deste software. Trabalharemos em simultâneo questões de linguagem matemática, evidenciando a importância de uma boa interpretação do problema e a conexão entre a realidade e a matemática. As abordagens trazidas são bons exemplos de como a Matemática Pura pode ser aplicada ao ensino e assim se caracterizar como uma efetiva Educação Matemática.

 

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P37: Grupo Fundamental: Invariância por Homotopia.

Objetivos: Estudar espaços homotopicamente equivalentes e mostrar que o grupo fundamental é um invariante homotópico.

Resumo: O conceito de homotopia, ou deformação é de grande importância na Topologia e em outras áreas como por exemplo Computação Gráfica. Duas aplicações contínuas f: X Æ Y e g: X Æ Y, entre dois espaços topológicos X e Y, dizem-se homotópicas se existe uma aplicação contínua H: X [0,1] Æ Y tal que H(x,0) = f(x) e H(x,1) = g(x) (notação: f ~ g); e dois espaços X e Y são homotopicamente equivalentes, ou têm o mesmo tipo de homotopia, se existem aplicações contínuas h: X Æ Y e k: Y Æ X tais que h k ~ idY e k h ~ idX. Neste trabalho estudamos tais espaços e apresentamos alguns resultados. O principal resultado apresentado é: "Se X e Y são homotopicamente equivalentes então seus grupos fundamentais são isomorfos, isto é, p1(X) @ p1(Y)". Algumas conseqüências deste resultado são obtidas; dentre elas destacamos: O grupo fundamental é um invariante topológico. R2 – {0} não é homotopicamente equivalente a R3 – {0}. O cilindro S1x [-1,1] não é homotopicamente equivalente ao toro T= S1xS1. Bolsa: Fapesp.  

 

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P38: Campos de Vetores e Determinação Finita.

Objetivos: Apresentar alguns resultados da Teoria de Singularidades de Aplicações Diferenciáveis referentes a Determinação Finita.

Resumo: Teoria de Singularidades de Aplicações Diferenciáveis utiliza idéias e técnicas das áreas da Geometria, Análise e Álgebra para estudar o comportamento local, semi-global e global das singularidades de aplicações diferenciáveis.O objetivo deste trabalho é fazer uma aplicação da Teoria Qualitativa das Equações Diferenciais Ordinárias, mais especificamente, usar o Teorema do Fluxo Tubular para obter os seguintes resultados:Lema. Sejam e X um germe de campo na origem do definido por , para todo x numa vizinhança de 0, tal que . Então, , se e somente se, existe um sistema de coordenadas no qual f não depende de alguma variável. Teorema. Seja . Se f for finitamente determinado, então Observação. A recíproca deste teorema não é verdadeira pois, tomando definido por , temos que f não é finitamente determinado e,  

 

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P39: Análise de sazonalidade da precipitação pluviométrica mensal em Uberlândia - MG, utilizando função autocorrelação e densidade espectral.

Objetivos: Analisar a presença de sazonalidade em dados de precipitação pluviométrica mensal em Uberlândia - MG.

Resumo: Em projetos agrícolas e urbanos o estudo do comportamento da precipitação pluviométrica é de fundamental importância, podendo ser até um limitante para a implementação desses projetos. O objetivo deste trabalho foi avaliar a presença de sazonalidade em dados de precipitação pluviométrica mensal na Estação Climatológica de Nova Friburgo - RJ, usando a função autocorrelação e a análise de densidade espectral, por meio de periodograma. Utilizou-se dados de uma série composta de 588 dados, referente ao período de 1951 a 1999. Calculou-se a autocovariância para a série e em seguida a autocorrelação. Os dados de autocorrelação foram representados em gráfico para avaliar a significância e a periodicidade de ocorrência dos dados de precipitação. Em seguida realizou-se a análise da densidade espectral que é obtida através da transformada Fourier. A análise da função de autocorrelação da série de precipitações revelou a presença de picos nos "lags" múltiplos de 12, o que indica a presença de sazonalidade. Através do periodograma foi possível notar a existência de apenas um período de 12 meses, sendo os demais períodos observados não-significativos segundo a estatística g de Fisher. Conclui-se que a série de precipitação pluviométrica da Estação Climatológica de Nova Friburgo, apresenta a componente sazonal significativa. As metodologias de análise da função autocorrelação e de densidade espectral mostraram-se eficientes na detecção da componente sazonal.

 

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P40: Algumas aplicações do Calculo às Ciências Químicas.

Objetivos: Objetivamos mostrar os resultados de nossas experiências interdisiplinar entre as ciências matemáticas e as ciências químicas, em resposta a solicitação feita por muitos estudantes do curso de Engenharia de Alimentos, “dê uma aplicação do cálculo à química”, que não está muito presente nos livros textos dos cursos de cálculo.

Resumo: Apresentamos neste painel os dois exemplos abaixo: I- Uso do conceito de continuidade para garantir existência de um instante onde o PH neutro quando estamos a fazer uma experiência de titulação de uma solução na sua passagem de meio ácido para um meio básico.. Estamos elaborando um vídeo com esta reação química , para podermos mostra uma aplicação do conceito de continuidade e com isso para melhorar o interesse ao Cálculo Diferencial e Integral pelos estudante dos cursos ligados mais ás Ciências Químicas. Em tempo, lembramos que a realização de um reação química é necessário trenamento técnico, coisa que nós professores de matemática não temos. II- Aplicações do Cálculo às Ciências Químicas é aplicação das funções de variáveis ao estudo dos gases perfeitos. Estamos realizando este estudo com apoio de professores da Área de Química da UEFS e de alunos do Curso de Engenharia de Alimentos. Pretendemos apresentar um material que poderá ser usado por professores de outro cursos mais ligados às Ciências Químicas. Estamos usando alguns destes resultados em nossas aulas. Conclusão : Vemos que podemos encontrar outras aplicações do cálculo em outras ciências e não ficarmos somente dando exemplos de aplicação à física. Mas isto só será possível com interdiscipinaridade.  

 

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P41: Configurações geométricas na esfera.

Objetivos: Estabelecer contagem de regiões, arestas e vértices de configurações de círculos na esfera bidimensional; Analisar, via homeomorfismos, problemas similares no plano; Explorar, via programas computacionais, a relação entre círculos no plano e curvas regulares na esfera quanto a contagem acima.

Resumo: Um problema clássico em combinatória é a contagem das "regiões" criadas no plano por um conjunto finito de retas que são duas a duas concorrentes e cuja interseção de qualquer subconjunto de três retas é vazio. Modelando matematicamente este problema, via relações de recorrências, o mesmo apresenta uma solução simples e interessante. Agora, através da projeção estereográfica, podemos considerar um problema análogo ao anterior no contexto da esfera bidimensional. Utilizando a mesma técnica para regiões no plano, computamos o número de regiões, vértices e ramos para um conjunto de círculos na esfera em condições adequadas. Também, utilizando ferramenta computacional, exploramos algumas variantes deste problema para certas curvas fechadas.  

 

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P42: Os Curiosos Gráficos das Opções.

Objetivos:  Divulgação. 

Resumo: As opções financeiras são elementos relativamente simples de serem conceituados, mas elegantemente complexos quando são abordados sob o ponto de vista quantitativo. Os seus gráficos representativos básicos – das opções de venda e opções de compra – se parecem com ângulos obtusos desenhados com a abertura para cima ou para baixo, respectivamente. As opções também podem ser associadas (estratégias), levando os gráficos resultantes a formas geométricas mais engenhosas, lembrando representações de funções definidas por diversas sentenças e associadas àquelas próprias das funções que envolvem valor absoluto. A idéia para o pôster é representar, lado a lado, tabelas simples que mostrem a evolução dos valores financeiros – as variáveis – os respectivos gráficos. Nessa linha, serão exibidas as formas básicas (compra de opção de venda, compra de opção de compra, venda de opção de venda e venda de opção de venda) e algumas associações, a depender da visibilidade obtida com o lay-out da peça. 
 
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P43: O Problema de Plateau.

Objetivos: Difundir um problema altamente interdisciplinar e de abordagem potencialmente motivadora ao ensino de diversos tópicos da matemática.

Resumo: Apresentaremos um pouco sobre a história do desenvolvimento da teoria de superfícies mínimas relacionado ao Cálculo de Variações e à Geometria Diferencial, descrevendo os estudos destas duas áreas da matemática. Partiremos da descoberta da catenóide (superfície formada pela rotação da curva catenária) por Euler e acompanharemos o crescimento desta teoria até o século XX, procurando entender sua mudança de enfoque neste período, quando se passou a buscar a prova da existência e unicidade das superfícies mínimas. O professor belga de física e anatomia Joseph Plateau (14/10/1801 em Bruxelas, Bélgica – 15/11/1883 em Ghent, Bélgica) foi quem realizou e analisou minuciosamente experiências com bolhas de sabão. Quando começou seus experimentos visando o estudo da configuração de películas de sabão, ele não fazia idéia do alcance que atingiriam. O chamado "problema de Plateau", que consiste em encontrar a superfície de área mínima que tem como contorno uma dada estrutura metálica no espaço tridimensional, serviu como um importante impulso a certos trabalhos em cálculo de variações e geometria diferencial e inspira muitos outros até os dias atuais. A beleza deste problema é que o sistema de películas obtido ao mergulhar um contorno metálico em uma solução de água com detergente e glicerina e retirá-lo da mesma é um modelo físico da superfície mínima deste contorno, obedecidas algumas condições para a construção do mesmo.Para concluir, analisaremos a viabilidade de utilizar apenas as Geometrias Axiomáticas Euclidianas Plana e Espacial para analisar estas superfícies. Estudaremos a superfície mínima da estrutura metálica formada pelas arestas do tetraedro como caso particular e discutiremos se um processo análogo poderia estender-se a outros casos.  

 

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P44: Ábacos: aspectos matemáticos, históricos e pedagógicos.

Objetivos: Apresentar alguns modelos de ábaco, situando o contexto histórico e sua importância, além disso, descrever suas formas e respectivos manuseios, através de seqüências didáticas para o uso em sala de aula.

Resumo: O ábaco é um dos mais antigos instrumentos de contar e efetuar operações comuns da aritmética que se conhece. Ele traz em sua estrutura o valor posicional, ou seja, cada conta ou pedra do seu tabuleiro, representa um valor de acordo com a posição nas hastes. A compreensão deste princípio posicional através do manuseio de um instrumento concreto, pode auxiliar o estudante a entender melhor o nosso sistema de numeração e suas técnicas operatórias. Pautados na proposta de seqüência didática pretendemos apresentar atividades que vislumbrem a construção de processos cognitivos pelos aprendentes, utilizando o ábaco como modelo concreto para operações aritméticas, enfatizando os aspectos históricos, didáticos e a matemática envolvida.

 

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P45: Os Elementos de Euclides: axiomas e demonstrações.

Objetivos:  O objetivo desse curso é analisar os primeiros teoremas e problemas do Livro I dos Elementos de Euclides, observando a construção axiomática dos teoremas, atentando para o rigor e para as falhas existentes. 

Resumo: A geometria clássica foi o primeiro ramo da matemática a consolidar-se graças, fundamentalmente, aos Elementos, que reuniu todo o conhecimento dos fundamentos da matemática da sua época. A obra foi composta aproximadamente 300 anos a.C e, além de ser provavelmente a obra de maior influência no pensamento científico de todas as épocas, determinou o ensino da geometria até os nossos dias. Isso se deve, acima de tudo, à sistematização e à organização com a qual está constituída, de forma axiomática e dedutiva. A seleção de axiomas, postulados e definições feita por Euclides foi tão bem sucedida que, mesmo diante das falhas apresentadas, um novo trabalho que as corrigissem de forma satisfatória só foi apresentado dois mil anos após a primeira versão. O primeiro dos 13 livros dos Elementos de Euclides inicia-se com 23 definições, 5 axiomas e 5 postulados e seu principal objetivo é a apresentação das primeiras e fundamentais figuras retilíneas planas, nomeadamente o triângulo e o paralelogramo. O Livro I tem 48 proposições, dentre elas, o Teorema de Pitágoras, cuja demonstração apresentada foi, provavelmente, uma produção do próprio Euclides. Devido ao curto período de tempo destinado ao curso, abordaremos apenas os quatro ou cinco primeiros teoremas. É demasiado fácil criticar o trabalho de um homem à luz de desenvolvimentos posteriores. Na sua época, os Elementos foram evidentemente o melhor desenvolvimento lógico da matemática que se tinha reunido e foram precisos 2000 anos para que surgisse uma nova versão que corrigisse suas falhas. Durante este longo intervalo de tempo a maioria dos matemáticos considerou logicamente satisfatório e pedagogicamente adequado o processo utilizado por Euclides.  

 

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P46: Quadrados Mágicos, uma ferramenta didática no ensino da matemática.

Objetivos: Apresentar as propriedades dos quadrados mágicos de forma a poder utiliza-las em aulas do ensino fundamental e médio como uma forma lúdica de abordar alguns temas matemáticos (P.A., matriz, expressões algébricas...).

Resumo: Muito já se falou sobre quadrados mágicos, mas sempre analisando as diversas propriedades matemáticas neles presentes, as construções e operações. Esse trabalho procura, além de apresentar essas particularidades, aplica-las ao ensino médio e fundamental, como uma forma lúdica de abordar alguns temas matemáticos (P.A., matriz, expressões algébricas...). Serão também abordadas a história do surgimento dos quadrados mágicos e sua evolução, além da apresentação de alguns quadrados mágicos elaborados por matemáticos e cientistas famosos, sempre procurando uma forma de leva-los para a sala de aula.O texto onde se baseia a apresentação, foi elaborado por Ronei Badaró quando ainda estudante do curso de graduação em matemática da UFBa, como atividade da disciplina Fundamentos de Matemática Elementar III no semestre 2001.1. Já apresentado em 2003 durante o 7o Encontro de Matemática da UFBa, o mini-curso tem como objetivo do seu autor, buscar melhorias para uma ulterior publicação.  

 

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P47: Mosaico de Estatística.

Objetivos: Apresentar alguns ambientes digitais e novas tecnologias que podem ser usados no ensino de estatística.

Resumo: O desafio de ensinar estatística passa por questões que vão desde a motivação dos alunos, passando pela rejeição da disciplina que é equiparada a disciplina de matemática e é claro o desfio de o professor estar atualizados com as novas tecnologia disponíveis na sociedade contemporânea ou sociedade da informação. Este trabalho procura motivar o aluno através do uso de ambientes digitais disponíveis na Internet associado a outros aspectos relacionados com a multidisciplinariedade da disciplina de estatística.  

 

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P48: Métodos Numéricos Variacionais em Equações Diferenciais.

Objetivos: Apresentar ao aluno de graduação como a teoria da análise funcional pode gerar eficientes métodos numéricos para resolução de problemas modelados por equações diferenciais.

Resumo: A proposta da criação de uma comunidade de ensino e aprendizagem de estatística inicia com o uso de Blogs que são diários virtuais, para as disciplinas e para a produção dos alunos; fórum de opinião onde os alunos debatem assuntos vinculados ao grupo e pertinentes ao conteúdo da disciplina. A publicação do sítio (site) da comunidade, onde os ambientes podem ser acessados bem como conteúdos da disciplina, ainda acesso a bibliotecas virtuais e produção dos alunos entre outros conteúdos.

 

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P49: Anéis de Stanley-Reisner e Álgebras de Rees Simbólicas.

Objetivos: Expor o tema, o qual é objetivo de pesquisa atuais, para os estudantes.

Resumo: A riqueza produzida em sala de aula real e virtual é surpreendente e ainda a estruturação das relações e colaborações que ocorrem no dia a dia da disciplina são fascinantes. Os resultados deste projeto foram realizados nas turmas de estatística na UFBA e uma faculdade particular da cidade de Salvador, onde os alunos através do Fórum e questionário responderam questões referentes aos ambientes utilizados durante o semestre e questões de relacionamento no grupo.  

 

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P50: Uma Topologia nos Naturais para a Teoria dos Números.

Objetivos: Introduzir-se-a uma interessante topologia no conjunto dos números naturais por progressões aritméticas. 

Resumo: Serão discutidas algumas propriedades desta topologia, tais como conexidade, compacidade, separabilidade, etc... Alem disso, dois belos resultados do ponto de vista da Teoria dos Números surgirão desta topologia: a infinitude dos números primos, e, uma equivalência ao Teorema de Dirichlet para progressões aritméticas; destacando assim a beleza estética da Matemática.

 

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P51: O Grupo Fundamental.

Objetivos: O objetivo deste trabalho é descrever o grupo fundamental de um espaço topológico X e estudar suas propriedades.

Resumo: 

Sejam X e Y espaços topológicos.Duas aplicações continuas f,g:X®Y dizem-se homotópicas quando existe uma aplicação continua H:X´I®Y tal que H(x,0)=f(x) e H(x,1)=g(x)  para todo x Î X (onde I=[0,1] ).
Neste trabalho estudamos homotopia de caminhos,isto é,de aplicações continuas a:[0,1]®X definidas em um intervalo compacto I=[0,1].onde a(0)=a(1).
Definimos os conceitos de classe de homotopia de caminhos e em seguida definimos o grupo fundamental do espaço topológico X, onde estudamos as suas propriedades básicas. Mostramos também a relação de muitas destas propriedades com a topologia do espaço X, como exemplo verificamos que a esfera Sn para n³1,é simplesmente conexa,e que o grupo fundamental do círculo é isomorfo ao grupo aditivo dos inteiros.

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P52: Não-periodicidade das seqüências de substituição para alfabetos de n letras e sua aplicação na Física.

Objetivos: Neste trabalho pretendemos generalizar resultados previamente obtidos acerca da periodicidade e quase-periodicidade das seqüências de substituição geradas por regras binárias às regras definidas em alfabetos com n letras. Objetivamos ainda apontar a relevância destes conceitos em problemas físicos especificamente na área de Física Estatística.

Resumo: O estudo de propriedades físicas, sejam elas eletrônicas, magnéticas ou termodinâmicas, de sistemas descritos por modelos de rede, tais como, modelos atômicos e modelos de spins, é um tópico de grande importância na Física. O caráter aperiódico da rede pode alterar tais propriedades, como se observa em modelos de spins definidos em redes geradas por seqüências de substituição. Um exemplo muito conhecido de substituição é a regra de Fibonacci (a _ ab, b _ a); as constantes de interação entre os spins no modelo de Ising, por exemplo, obedecem à seqüência gerada por sucessivas concatenações da regra em questão (no caso da regra de Fibonacci, temos a _ ab _ aba _ abaab _ abaababa ....). Assim sendo, é de suma importância classificar as seqüências geradas por regras de substituição quanto à periodicidade e à quase-periodicidade. Em dois trabalhos anteriores, apresentamos uma classificação exaustiva das seqüências geradas por regras binárias uniformes (cada letra leva a uma palavra de tamanho fixo) quanto à quase-periodicidade [1] e à periodicidade [2] das seqüências por elas geradas. Neste trabalho, estendemos parcialmente resultados matemáticos acerca da periodicidade e generalizamos o teorema de classificação quanto à quase-periodicidade. Ademais, desenvolvemos um programa computacional para investigar as propriedades das seqüências geradas por quaisquer regras, de modo a auxiliar na investigação dos resultados matemáticos. Em última análise, tais classificações serão utilizadas na escolha das regras de substituição que definem as interações de troca dos modelos aperiódicos de spins, a fim de investigar a relevância da aperiodicidade e/ou quase-periodicidade nas propriedades termodinâmicas do sistema em torno da temperatura de transição da fase ferro-paramagnética.. [1] Pinho and Petit Lobão, Braz. J. Phys. 30, 772 (2000). [2] Trindade, Pinho and Lobão, in Tendências da Física Estatística no Brasil, 136-140 (2003).  

 

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P53: A equação de Pell.

Objetivos: Apresentar o conjunto solução da equação de Pell usando métodos elementares.

Resumo: O princípio da casa do pombo foi enunciado por Dirichlet em 1897 e pode ser expresso da seguinte maneira: "Se n+1 pombos pousam em n casas de pombos então pelo menos uma casa tem dois pombos." Outra formulação, também relacionada com pombos diz: "Se um carteiro tem n+1 cartas para entregar em n casas e entrega exatamente uma carta em cada casa, então tem que colocar uma carta na casa do pombo." Formalmente, temos o seguinte:"Se n objetos são agrupados de modo a formar m conjuntos e m < n então algum conjunto possui mais de um elemento." Vamos aplicar tal princípio para mostrar a existência de soluções nos inteiros para a seguinte equação: x2 – d y2 = 1, onde d é um inteiro positivo que não é um quadrado perfeito. Mais ainda, vamos mostrar que o conjunto solução tem uma forma especial Teorema: Seja d um inteiro positivo que não é um quadrado perfeito. Então existem infinitas soluções para a equação x2 – d y2 = 1. Mais ainda, existe uma solução (x1, y1) tal que toda solução é da forma +-( xn, yn) , onde xn+ ÷d yn = (x1+ ÷d y1)n , com n um inteiro.  

 

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P54: A Programação Linear e os Problemas do Transporte e Mistura.

Objetivos: Resolver problemas de Programação Linear usando o método Simplex. Estudar o Simplex como método de resolução dos Problemas de Transporte e Mistura.

Resumo: Programação Linear é uma técnica de Planejamento que se originou no final da década de quarenta e com o surgimento do computador na década de cinqüenta, encontrou seu aliado natural tendo então um desenvolvimento acelerado e sendo também muito difundida.A Programação Linear é uma técnica de Otimização onde se pretende otimizar uma função linear que está sujeita a algumas restrições. Para a resolução de problemas de Programação Linear onde as restrições são um sistema indeterminado de equações lineares usa-se o Método Simplex. O Simplex é um algoritmo que se utiliza de um ferramental baseado na álgebra linear para determinar, por um método iterativo, a solução ótima de um problema de Programação linear. O algoritmo Simplex destaca-se como uma das grandes contribuições à Programação Matemática desse século. Trata-se de um algoritmo geral extremamente eficiente para a solução de sistemas lineares e adaptável ao Cálculo Computacional, e cuja compreensão funcional embasará vários outros métodos.Alguns itens que deve se tomar um certo cuidado na Resolução de um Problema pelo Método Simplex: A base viável inicial não está disponível, degeneração e ciclagem e múltiplas soluções. O Problema do transporte consiste na sua forma mais simples no seguinte: determinar as quantidades de um produto encontram-se disponíveis em certo número de origens, pretende-se realizar o transporte de modo que quantidades previamente fixas passem a existir em determinados locais de destino. Conhecido o custo de transporte de uma unidade de produto pretende-se minimizar o custo total do transporte. O Problema da Mistura tem como objetivo minimizar o custo do produto obtido pela mistura de diversas matérias primas com diferentes custos e diferentes composições. As restrições se referem à participação dos componentes no produto final.  

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P55: Qual é a matemática do jogo?

Objetivos:O objetivo desse trabalho é apresentar um jogo bastante curioso e justificar a matemática que está por trás dele

Resumo: . O jogo é formado de 6 discos contendo 30 números que variam de 1 a 60. Uma pessoa "pensa" em um determinado número, e o jogo consiste em descobrir qual foi o número pensado. Algumas variações desse jogo podem ser feitas. O resultado matemático que está por trás é o seguinte: "Dado b um número natural maior que 1, podemos sempre representar um número inteiro n ≥ 1 na base b. Mais precisamente, dados um número n, podemos escrever n = a0b0 + a1b1 +... + akbk = (ak ak-1 ... a0 )b , onde k ≥ 0, ai = 0 , 1 ..., b – 1 e ak π 0". Nosso sistema de numeração usual é o sistema decimal, b = 10. Em computação são de interesse os sistemas binário (b = 2) e hexadecimal (b = 16). 

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P56: A Topologia de Zaríski

Objetivos:Apresentar a topologia de Zariski para o espaço afim e para o.espectro primo de um anel.

Resumo: Iniciamos com a definição de espaço topológico. A seguir, apresentamos o conceito de espaço afim e subconjuntos algébricos. Em seguida, mostramos que os subconjuntos algébricos podem ser tomados como  os fechados de uma topologia do espaço afim, que  é a chamada topologia de Zariski. Após isso, apresentamos o conceito de espectro de um anel. Definimos determinados subconjuntos,  que mostramos ter as propriedades de fechados, e que definem a topologia de Zariski do espectro. Finalmente, mostramos uma relação entre essas topologias.

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P57:Pôsteres Multicurso Matemática

Objetivos: Apresentar o Multicurso Matemática – Ensino médio através de cartazes de monitoramento do programa, com informações estatísticas, depoimentos e um exemplo de tarefa de um grupo de estudo.

Resumo: O Programa Multicurso Matemática foi desenvolvido pela Fundação Roberto Marinho com o objetivo de contribuir com a qualificação da educação básica brasileira. Inicialmente, esta contribuição se dá pelo desenvolvimento de um programa que tem como base o trabalho de Formação Continuada dos educadores de Matemática do ensino médio e o apoio da presença em sala de aula de um material didático concebido por uma equipe de renomados especialistas em matemática e comunicação.
Os educadores envolvidos no Programa passam a se organizar em grupos de estudo de matemática, os GEMA, que se reúnem quinzenalmente, sob a coordenação de um dos integrantes do grupo. Cada GEMA tem também um tutor, especialista em matemática, que assessora e os orienta, fazendo uma interface entre os educadores e a equipe central do programa. O Multicurso estimula o envolvimento e prevê atividades também para coordenadores pedagógicos e diretores das escolas, garantindo apoio logístico nas salas de aula e subsecretarias, de forma a integrar toda a comunidade escolar.
A cada bimestre os coordenadores e tutores dos GEMA se reúnem em um seminário para discutir a aplicação do programa nas salas de aula e relacionar procedimentos de atuação.
Por ser uma experiência ao mesmo tempo à distância e presencial, o Multicurso dispõe de um ambiente virtual (www.multicurso.org.br) onde todos os participantes podem expor suas experiências, ter acesso a informações sobre atividades em curso, fazer cadastros, consultas e conhecer os demais educadores envolvidos no programa. O ambiente virtual permite haver comunicação contínua, fortalecendo os laços entre os participantes e colaborando para a formação de uma rede de aprendizagem cooperativa.
Para assegurar ainda mais legitimidade ao Multicurso Matemática, ele é monitorado e avaliado por uma equipe externa em todas as etapas de aplicação, ao longo do ano, a fim de rever práticas e procedimentos e melhor atender aos beneficiados do programa.
Este ano, são beneficiados diretamente pela aplicação do Multicurso em Goiás 2.400 educadores e 109.000 alunos da primeira série do ensino médio. A implementação é uma parceria entre a Fundação Roberto Marinho, a Secretaria de Educação de Goiás e a Fundação Pró-Cerrado.

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