II Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática

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Mini-cursos: Resumos/Objetivo

M1: Autovalores e autovetores: além de n=2.

Autovalores e autovetores são jóias de síntese: o comportamentos assintótico de grandes sistemas lineares pode ser descrito com poucos dados espectrais. E o processo tem duas mãos: a partir de um modelo demográfico, somos levados a métodos de aproximação de autovalores e autovetores, curto-circuitando as dificuldades algébricas presentes na apresentação habitual que se limita ao cálculo do polinômio característico e eventualmente de suas raízes. O material é apresentado de forma auto-contida, mas um mínimo de prática com matrizes é bem-vinda. Serão apresentados alguns algoritmos tradicionais para o estudo dos autovalores e autovetores, com uso de um mínimo de programação.

M2: Matemática para guias turísticos.

Uma teoria que se adequa muito bem ao nosso objetivo é a Teoria dos Grafos, e nesses dois encontros discutiremos a solução de dois problemas clássicos, envolvendo encontrar circuitos (caminhos fechados) dentro de um grafo, mas obedecendo certas características específicas. No primeiro encontro apresentaremos os dois problemas a serem estudados e como esses podem ser descritos, de maneira bem intuitiva, como um problema em grafos. Uma vez feita a tradução para essa nova linguagem, estudaremos os grafos Eulerianos. No segundo encontro iniciaremos com uma pequena revisão e prosseguiremos com o estudo e aplicações dos grafos Hamiltonianos. Estou pretendendo produzir um texto que servirá de apoio para as apresentações.

M4: O lúdico como motivação no ensino da Matemática no nível básico.

O jogo dos discos (RPM): a partir desse jogo, que pode ser uma atividade de uma feira de Ciências, pode-se exercitar operações aritméticas e algébricas(ensino fundamental), contagem e cálculo de probabilidades. Dominós (RPM 14 e 24): o jogo de dominós permite trabalhar contagem organizada, representação decimal, paridade ou construção de material para Laboratórios de Ensino. Mágicas (RPM 10 e 17): através de mágicas pode-se estudar representação decimal ou em outras bases, divisibilidade, cálculo do MCD e MMC, contagem. História da Matemática (RPM 10, 35, 36,42): através de episódios históricos, como nos artigos As medidas na carta de Caminha, Papiro de Rhind e as frações unitárias, Uma aula de Matemática no ano 1000, Arquimedes, a esfera e o cilindro, propor e resolver problemas e trabalhar conceitos matemáticos.

M5: Geometria, Modelagem Matemática e o Software Octave.

Os seguintes tópicos serão abordados.:Problemas motivadores envolvendo geometria; funções contínuas;; funções convexas e quase convexas;; segmento áureo e o número áureo;; método da bisseção;; método de busca unidimensional; método de Newton-Raphson.Serão apresentados três problemas motivadores, com o objetivo de se introduzir técnicas numéricas importantes para a resolução de modelos matemáticos mais complexos.Os problemas motivadores envolverão uma teoria matemática de fácil compreensão, abordando, em geral, conceitos geométricos bem conhecidos dos alunos: áreas de figuras planas, áreas laterais e volumes de sólidos geométricos; semelhança e congruência de triângulos; relações trigonométricas em um triângulo retângulo; relações entre arcos de circunferência e ângulos centrais. Incrementando um pouco a teoria matemática, introduzir-se-á o conceito de função contínua e, como exemplo, serão apresentadas as funções trigonométricas, importantes para a resolução dos problemas modelados a partir de uma abordagem geométrica. Apenas com o conceito de função contínua já se pode trabalhar com técnicas numéricas para a resolução de equações do tipo f(x) = 0 (f: ¬ Æ ¬, contínua) e de problemas de otimização (onde se quer encontrar o valor mínimo ou máximo de uma função contínua quase-convexa). Introduzindo-se o conceito de derivada, será apresentado outro método numérico que produzirá aproximações mais precisas com um menor número de iterações. Os códigos computacionais serão implementados com o auxílio do software Octave.

M6: Informática e Jogos no Ensino da Matemática.

Usar informática no ensino da Matemática pode tornar certos conceitos bem mais claros e atrativos, sendo grande a variedade de temas do ensino fundamental e médio que podem ser explorados com tais recursos, com destaque principalmente aos de geometria. Neste minicurso pretendemos desenvolver em especial os seguintes tópicos:Noções básicas do Cabri. O uso do Cabri na visualização e interpretação de movimentos rígidos no plano: rotação, translação, reflexão/simetria axial e simetria central (transformações isométricas) e pavimentação do plano. Poliminós e o Cabri. Tangran e o Cabri.

M7: O Cabri-Géomètre II aplicado às soluções dos problemas do pirata e dos rolimãs: conjecturas e extensões curiosas.

O Cabri-Géomètre II: admirável ferramenta para o ensino aprendizagem da Geometria Euclidiana. Fundamentos do Cabri (sumário). Edição numérica, rotações e inversões planas.O problema do pirata: Soluções via coordenadas no plano e Cabri. Investigação de invariâncias e lugares geométricos. Generalizações e extensões do problema via Cabri; lugares geométricos curiosos.O problema dos rolimãs: Gauss e a construção de circunferências tangentes externamente a uma circunferência dada (o dual). Seqüência de circunferências tangentes a duas circunferências concêntricas de modo que circunferências contíguas sejam tangentes entre si (o rolimã plano): soluções via Cabri. Generalização do problema do rolimã: supressão da concentricidade. generalização: o Cabri e a teoria das inversões.

M8: Aplicações educacionais com o Cabri Géomètre II: Caleidoscópios virtuais.

Construção de polígonos, Pavimentação do plano, rotações, translações, simetrias, eixos de simetria, espelhos virtuais, movimentação de figuras, construção de caleidoscópios virtuais.

M9: Maple EDO e Modelos Matemáticos.

O mini-curso consiste na apresentação do Software Matemático – Maple, na resolução dos problemas envolvendo Modelos Matemáticos do tipo: Decaimento Radioativo, Crescimento e Decrescimento Populacional, Resfriamento de Newton, Modelos Geométricos, Mecânicos, de Queda Livre, Circuitos Elétricos entre outros. Apresentamos também a solução gráfica de uma EDO de primeira ordem, usando o Maple para traçar os campos direcionais e suas curvas soluções. Visamos com este mini-curso apresentar o conteúdo matemático das equações diferencias de primeira ordem através dos recursos computacionais levando o aluno a relacionar a parte teórica com as aplicações nos vários campos de conhecimento.

M10: Coletânea de Modelos Concretos de Laboratório de Ensino de Matemática.

Essa conferência consitirá de diversos tópicos de Matemática utilizando modelos concretos. Os modelos foram construídos durante a execução do Projeto Apoio a Atividades de Laboratório de Ensino de Matemática da UFBA tendo como referência exemplares da Revista do Professor de Matemática, o livro a Matemática do Ensino Médio e sugestões dos professores do Laboratório de Ensino de Matemática da UFBA. Os modelos apresentados serão:Arco capaz, Calculadora parabólica (referência: apostila do prof. Pedro Mallagutti – UFSCAr), Centro de massa de região plana e cálculo de volume utilizando o Teorema de Pappus, Embalagens cilíndricas com volume fixos e áreas mínimas, Embalagens com volume máximo, com bases sendo polígonos regulares, Esfera na métrica da soma, Média aritmética, geométrica e harmônica, Projeção esteriográfica, Soma de uma série geométrica infinita, Trigonometria (redução ao primeiro quadrante), Volume do elipsóide pelo princípio de Cavallieri.

M11: Explorando o geoplano.

O objetivo deste mini curso é apresentar, explorar, analisar e avaliar o Geoplano como material didático em várias áreas da Matemática. A apresentação das atividades com o Geoplano, baseia-se no quotidiano da sala de aulas de matemática, permitindo, abordar a resolução de problemas, com simplicidade que conduz a obter e às vezes tirar conclusões que com o lápis e papel não as obteríamos. De maneira geral, permite desenvolver estratégias de medidas e de cálculo, realizar estimações e aproximações de forma mais visual e manipuladora que contribui para um melhor aprendizado em Matemática.

M12: Cálculo das Derivadas das Opções: Modelo de Black&Scholes.

Conceitos oportunos. Variação dos ativos contingentes em tempo contínuo. As fórmulas do Modelo. As derivadas das fórmulas do Modelo. Exemplos e aplicações.

M13: Riscos Financeiros, Uma Descoberta.

Introdução: conceitos de risco, incerteza e valor esperado. Operações Futuras. Arbitragem. Hedge – Proteção contra o risco. Opções Financeiras. Portfólios.

M14: A importância da inter-relação existente entre a geometria e a Estruturas das Substancias Químicas.

Neste trabalho pretende-se analisar as relações da Matemática com a Química, enfatizando a geometria presente nas estruturas das espécies químicas. A utilização de modelos concretos, das estruturas moleculares, permite a racionalização das propriedades dos compostos químicos. Além disso, estes modelos admitem uma melhor compreensão da reatividade dos compostos químicos e da cinética das reações. O tratamento dado ao tema leva em conta a interdisciplinaridade e contextualização. Na realidade a Matemática é mais do que uma “ferramenta” quando se estuda o ambiente no qual vivemos.

M15: Análise combinatória com utilização de modelos concretos.

Análise combinatória: Princípio básico, permutações e combinações.Serão apresentadas soluções de vários problemas constantes do livro A Matemática do Ensino Médio, de Elon Lages Lima, Paulo Cezar Pinto Carvalho, Eduardo Wagner e Augusto César Morgado, de forma direta, usando o princípio básico e evitando ao máximo a utilização de fórmulas ou artifícios mentalizados inconscientemente. Para cada exercício proposto será apresentado um modelo concreto facilitando o entedimento e a visualização de sua solução. Além disso, os modelos a serem apresentados são feitos de materiais de baixo custo e de sucatas, o que incentiva aos participantes a produzir modelos semelhantes. Os estudantes do curso de graduação em matemática da UFBA Carlos Fernando da Silva Arraz e Marília Caribé Ribeiro Cardoso participarão da atividade como monitores.

M16: Resolução de Problemas Lineares pelo Método Gráfico.

As equações e inequações lineares, bem como os sistemas de equações e inequações simultâneas, são bastante úteis em muitos problemas de economia, transporte, dietas, produção, etc. Nesses problemas é comum se perguntar pelos valores máximo ou mínimo de uma função que se quer otimizar. A função a otimizar, denominada função objetivo, é linear e as desigualdades em questão que representam o conjunto de restrições do problema, também são lineares. Quando isso ocorre, dizemos que estamos diante de um Problema de Programação Linear. Estes problemas podem ser resolvidos graficamente ou algebricamente utilizando métodos matemáticos da programação linear. Contudo, a utilização de alguns destes métodos de resolução exige um conhecimento mais avançado da teoria matemática. Assim, como este curso está direcionado também aos alunos do nível médio, nos limitaremos ao estudo do método de resolução gráfica. Nosso curso está organizado do seguinte modo: Começamos apresentando alguns exemplos de problemas lineares, em seguida, estudamos os conceitos básicos da programação linear a fim de modelar matematicamente estes problemas, e após a obtenção dos modelos, apresentaremos finalmente o método gráfico e a sua aplicação, analisando as soluções obtidas.

M17: O Ensino da Matemática para deficientes visuais através do instrumento multiplano concreto e virtual.

O estudo sobre o ensino da matemática para alunos deficientes visuais através da utilização do material MULTIPLANO concreto e virtual respalda-se na igualdade de oportunidades como mola propulsora, objetivando maximizar o aproveitamento das atividades educativas destinadas a satisfazer as necessidades básicas de aprendizagem desse grupo, em específico no que tange a cálculos e solução de problemas num processo inclusivo e multilateral, onde a diferença, no caso a restrição sensorial, não é agravante para que a aprendizagem se efetive. É compreensível que o deficiente visual apresente dificuldades no aprendizado da matemática, pois suas necessidades não são totalmente atendidas pelas escolas, devido à falta de material adequado e a falta de docentes qualificados, entre outros agravantes, fatores que impossibilitam a interação no processo de ensino aprendizagem, e a vinculação desse processo com a vida do educando. A proposta deste projeto nasceu a partir da criação de um instrumento didático que auxiliou inicialmente, na aprendizagem de um aluno e, devido aos resultados alcançados, julgou-se conveniente se aprofundar na pesquisa com vistas à ampliação dos usos das técnicas elaboradas, bem como, o aprofundamento na compreensão das mesmas. Após a assimilação dos conceitos abstraidos no uso do Multiplano concreto, foi possível desenvolver um software com interface de voz, proporcionando o deficiente visual a criar figuras geométricas, gráficos, entre outras atividades, no computador a partir de coordenadas cartesianas, dando oportunidades para que o deficiente visual esteja inserido no processo de inclusão digital. O Projeto pretende desta forma, propiciar oportunidades iguais de aprendizagem a todas as pessoas, em específico aos deficientes visuais, muitas vezes deixadas à deriva de sistema educacional.

M18: Breve história da álgebra abstrata.

Breve resenha sobre a história da álgebra antes do século XIX. A analytical society e os primeiros passos de abstração. O trabalho de Hamilton, a fundamentação dos números complexos e a descoberta dos quatérnios. Cayley e a introdução dos octónios e as álgebras de matrizes.A resolução das equações algébricas. O teorema fundamental da álgebra, os trabalhos de Lagrange, Ruffini, Abel e Galois sobre a solução por radicais. Os grupos de permutações e os domínios de racionalidade. Corpos finitos. Cayley e a primeira definição abstrata de grupo. As tentativas de classificação das álgebras associativas. Os trabalhos de Molien, Cartan e B. Peirce. Os teoremas de Wedderburn.

M19: Mini-curso de Problemas da RPM.

Usar diferentes técnicas como, desenho, cortes em sólidos, demonstrações formais sintéticas ou analíticas para obter e verificar soluções de problemas propostos em exemplares diversos da RPM. Está previsto a realização de uma "olimpíada" de resolução de problemas entre os participantes do mini-curso com premiação para as soluções mais elegantes: livros da SBM, exemplares e CDROM da RPM ou assinaturas da RPM.

M20: Os três problemas clássicos dos gregos e a geometria dinâmica.

M21:

Problemas de Tangência em Geometria.

A idéia é começar contando alguns casos de utilização de problemas geométricos (a exemplo do problema de Apolônio) para resolver problemas contemporâneos em ciências aplicadas. Com esta motivação, estudaremos um conjunto de problemas de construção geométrica, em especial problemas de tangência, analisando mais de um método de solução em diversos casos. A discussão em seguida a cada problema inclui a possível aplicabilidade de cada solução, seja em casos "degenerados", seja em generalizações, por exemplo, a problemas envolvendo cônicas em lugar de círculos. Discutiremos em que sentido algumas soluções podem ser "melhores", ou mais gerais, do que outras. Transformações geométricas (isometrias, similaridades, inversão, etc.) serão sistematicamente utilizadas para simplificar o caminho de solução nos diversos problemas abordados.

M22: A matemática na escola informatizada.

O mini-curso tem como objetivo discutir e avaliar o potencial da tecnologia informática no dia-à-dia da sala de aula. Duas questões vão orientar a discussão: a) por quê o uso de tecnologia informática ? ; b) como usar tal tecnologia no processo de ensino e aprendizagem da matemática? Serão discutidos e avaliados diferentes software, dando-se ênfase aqueles que apresentam recursos para práticas pedagógicas que colocam o aluno no papel de ativo aprendiz. Isto significa colocar sob atenção os ambientes informatizados que, referidos na literatura como “ambientes de exploração e expressão”, possibilitam ações que caracterizam o pensamento matemático, tais como experimentar, interpretar, visualizar, induzir, conjeturar, abstrair, generalizar, demonstrar. Diferentes tópicos de geometria serão explorados no software Régua-e-Compasso, incluíndo-se aqui a parte de modelagem geométrica. Curvas e regiões no plano com sistema cartesiano e polar, funções e gráficos serão tópicos explorados no software Graphequation. Matrizes e transformações no plano, processos recursivos e fractais são tópicos a serem trabalhados no software Shapari. Além desses software, serão apresentados outros, também de domínio público, de tal forma que os participantes, se professores provenientes de escolas com laboratório de informática, possam de imediato implementar, com seus alunos, trabalhos dentro do espírito discutido no mini-curso.

M23: Tecnologia no Ensino da Matemática ou Ensino de Matemática para as Tecnologias?

A introdução do computador nas escolas trouxe um novo desafio para os professores. Como usar este novo instrumento de modo efetivo no ensino de Matemática (e das outras disciplinas)? Mas este é apenas um dos lados da questão. O outro aspecto, que não é tão dependente da tecnologia, se refere à escolha de temas para o ensino de Matemática que sejam relevantes para o uso adequado das tecnologias e para seu desenvolvimento. Neste mini-curso, procuraremos cobrir os dois aspectos da questão. Por um lado, discutiremos bons exemplos de uso do computador para apoiar o ensino. Por outro lado, procuraremos apontar oportunidades, dentro de ensino básico, de se abordar temas relevantes para o uso eficiente da tecnologia de informática.

M24: Resolução de Equações com régua e compasso eletrônico com Cabri Géométre II.

1o dia (2 h/a): Construções simples com régua e compasso. Construções dos macros das operações elementares. Construções dos macros sobre um sistema de coordenadas. Resolução da equação de segundo grau. 2o dia (2 h/a) Resolução de um sistema de duas equações e duas variáveis. Construção da linha reta ax+by+c=0 Solução do sistema ax+by+c=0, a’x+b’y+c’=0 Experiência numérica. 3o dia (2 h/a) Resolução da interseção entre uma reta e uma circunferência. Construção da circunferência dada sua equação. Interseção de retas e circunferências, interseção de duas circunferências. 4o dia (2 h/a) Resolução da interseção entre duas circunferência: Desafio: Resolver o problema de Apolonio. Referência: S. Richard W. Sanguino B. Resolução de equações com régua e compasso eletrônico: Cabri Geométre II. (a ser publicado, pela II Bienal)

M25: A metodologia de Pogorelov para ensino de construções geométricas, revista com geometria dinâmica.

A metodologia, proposta por Pogorelov, de resolução de problemas de construções geométricas por régua e compasso, concilia de forma didática os conceitos de geometria euclidiana e a geometria das transformações. Na era dos programas de geometria dinâmica, tal metodologia se mostra mais atual que nunca, com o entendimento facilitado por visualização, experimentação, conjeturas, exploração e validação de métodos de construção. Estas etapas de resolução de um problema de natureza geométrica fazem parte da seqüência natural de ensino de matemática com problemas. O objetivo deste mini-curso é desenvolver atividades didáticas para o ensino de geometria e construções geométricas com uso de programas computacionais, valorizadas por uma proposta didática consagrada. Ementa: 1)Princípios de resolução de problemas de construções geométricas; 2)Etapas de resolução de problemas de construções geométricas, análise com uso de programas computacionais; 3)Problemas de Lugar geométrico; 4) Semelhanças, Reflexões, Translações, Rotações, Inversões e suas aplicações nos problemas de construção geométrica; 5) Exercícios.

M26:Comparação de ensino matemática no Brasil, Rússia e outros paises.

TIMSS e outras pesquisas internacionais mostram diferenças enormes em qualidade de ensino, especialmente matemática entre paises diferentes. Nalguns paises qualidade de ensino é tradicionalmente bom (Europa, incluindo Rússia), nalguns outros cresce rapidamente (Cingapura, Coréia, Japão), nalguns outros fica ruim (América Latina). Porém, importância da qualidade de ensino, especialmente de matemática, cresce rápido. Para entender melhor onde estamos e para onde devemos ir, é útil comparar ensino no Brasil com ensino em paises quais mostram desempenho melhor nas comparações internacionais. Um fator importantíssimo é existência de currículo nacional claro e detalhado. Nos paises quais mostram desempenho bom, incluindo Rússia e vários paises asiáticos, existe currículo nacional, seguinte aquele alunos estudam assuntos novos regularmente sem perder tempo e sem pressa. No Brasil (como nos EUA) não há currículo nacional, logo há confusão e perdas enormes. Outro fator importantíssimo é solução de problemas através da toda escola, na cada série mais difíceis. Isto acontece na escola russa, onde dificuldade de problemas cresce regularmente, mas é confuso no Brasil. Resolver problemas verbais é especialmente importante para todos. George Polya explicou sua opinião por que problemas verbais são tanto úteis. Na Rússia abundancia de problemas verbais na escola sempre foi normal. Uma medida útil de dificuldade dum problema verbal em aritmética é o numero de passos, i.e. o numero de operações na solução dele. Na Rússia o numero de operações cresce no cada ano da escola elementar: afinal da primeira serie alunos russos começam resolver problemas com um passo, afinal da segunda serie – com dois passos, afinal da terceira serie – com três passos, afinal da quarta serie – com quatro passos. De outro lado, seguinte parâmetros publicados por governo brasileiro, alunos brasileiros ficam com problemas com um passo mesmo depois da quarta serie. No final da escola alunos russos estudam provas rigorosas, mas alunos brasileiros preparem-se para vestibulares, onde todos argumentos lógicos são excluídos.

M27:Emaranhamento: dos Gatos de Schrödinger à Álgebra Multilinear.

Noção de Estado em Mecânica Quântica; -Sistemas Compostos e Produto Tensorial; -Emaranhamento para Estados Puros de Sistemas Bipartites; -Emaranhamento para Estados Mistos de Sistemas Bipartites; -Sistemas com mais partes.

M28:Os quatro elementos (Fogo, Terra, Água e Ar) e a Matemática.

O mini-curso será dividido em cinco capítulos: 0. Apresentação 1. O fogo - como derivar 1/2 vez uma função descontínua 2. A terra - como Euclides ajudou os aliados na Segunda Guerra 3. A água - computadores movidos a água 4. O ar - do sopro da vida ao DNA No cap. 0 será apresentado um panorama geral sobre a filosofia da natureza, com as idéias dos principais filósofos pré-socráticos. Este capítulo introdutório delineia os principais aspectos dos temas a serem tratados nos capítulos posteriores, tentando aproximar as descobertas matemáticas da Antiguidade da visão cosmológica dos primeiros pensadores gregos. Não se trata entretanto de um texto de História da Matemática, mas de um recurso pedagógico com a finalidade de abordar nos capítulos posteriores alguns temas atuais de Matemática, que despertam interesse nos alunos. No cap. 1, o fogo é utilizado como recurso didático para se obter os operadores pseudo-diferenciais, em um nível intuitivo e acessível para alunos que possuam apenas os conhecimentos de Cálculo 1. O segundo capítulo trata do elemento terra e suas interconexões com a criptografia e teoria da computabilidade. Este capítulo é acrescido de várias atividades que utilizam conhecimentos elementares de criptologia: palavras cruzadas, jogos codificados, números de controle, poesia concreta e codificações utilizando-se o DNA. No cap.3 a água é usada para o desenvolvimento de uma linha histórica de descobertas até se chegar a Internet e uma de suas variantes lúdicas, conhecida como Waternet. Neste revolucionário sistema a água é usada como meio de transmissão de dados. O cap. 4 parte do ar e sua relação com a vida para introduzir estudos matemáticos envolvendo as descobertas genéticas destacando-se a grande interdisciplinaridade (presente e futura) destas áreas do conhecimento.

M29:A geometria do globo terrestre.

Conceitos geográficos como paralelos, meridianos, latitudes, longitudes e fusos horários estão baseados em importantes idéias geométricas que, neste contexto, conduzem o aluno a uma melhor compreensão e aprendizagem do tema em questão. O estudo dos movimentos da Terra nos permite entender, além das quatro estações do ano com seus equinócios e solstícios, porque o Trópico de Capricórnio ou o Círculo Polar Ártico são paralelos notáveis. As relações entre longitude e fusos horários bem como entre latitude e o ângulo de elevação do Sol nos levam a problemas geométricos relevantes respondendo a questões como: Porque ao meio-dia de um dia claro de verão é muito mais quente que a noite ou a manhã do mesmo dia? O que faz o inverno frio e o verão quente? O estudo da posição relativa de duas ou mais esferas e as relações entre as coordenadas geográficas e as coordenadas cartesianas constituem a base matemática necessária para o entendimento do funcionamento do GPS, um dos mais modernos sistemas de navegação por satélites. A utilização do globo terrestre, com suas conseqüentes questões envolvendo, por exemplo, cálculo de distâncias e ângulos sobre a esfera, ou ainda, confecção de mapas por meio de diversas projeções, abre caminho para um interessante trabalho interdisciplinar entre a Matemática e a Geografia.

M30:Resolução de Equações Algébricas por Radicais.

Visão histórica do problema da resolução de equações algébricas desde os antigos egípcios até Galois. Os personagens: Babilônios, Baskhara, Cardano, Tartaglia, Ferrari, Viète, Ruffini, Abel e Galois. A “completação de quadrados” e os artifícios de cálculo. A equação quadrática é resolvida pela completação do quadrado. As equações cúbicas e quárticas são apenas reduzidas pela completação do binômio de Newton. Discussão das equações com coeficientes reais. _Aplicação: Uma família de triângulos retângulos: os triângulos Tp, com hipotenusa p e catetos x e 1/(x²). Comentários sobre a impossibilidade de resolução de equações com grau superior a quatro e o surgimento da teoria dos grupos.

M31Ressonância: para além dos cursos de física.

O primeiro capítulo do texto a ser apresentado fará, em nível elementar, um estudo minucioso sobre oscilações forçadas (sistema massa-mola) com força externa periódica destacando a relação entre a freqüência da força externa e a freqüência natural do sistema na conclusão da existência (ou não) de soluções periódicas. A apresentação é feita de modo a destacar a teoria de Sturm-Liouville e a teoria de aproximação, via série de Fourier. O segundo capítulo apresentará o estudo da corda vibrante não-homogênea, submetida a uma força externa. Esse estudo proporciona a possibilidade de estudar a interação ressonante entre duas cordas vibrantes. As ressonâncias que serão estudadas podem ser exemplificadas simplesmente, por exemplo com um violão ou um piano.

M32:Geometrias Não Euclidianas, exemplos.

Capítulo 1 – Fundamentos – Produto Interno - Plano Tangente - Métrica Riemanniana no Plano - Distância. Geodésicas - Grupo de Isometrias - Geometria Euclideana Capítulo 2 – Geometria Esférica 2.1 – A Esfera. Parametrização. 2.2 – Métrica Esférica 2.3 – Grupo de isometrias da Esfera 2.4 – Geodésicas na Esfera .5 – Fórmula da Distância sobre a Esfera 2.6 – Relações métricas em triângulos esféricos 2.7 – A área de triângulos esféricos Capítulo 3 – Geometria Hiperbólica 3.1 – O Plano Hiperbólico 3.2 – Geodésicas no Plano Hiperbólico 3.3 – Grupo de isometrias do Plano Hiperbólico 3.4 – Fórmula da distância sobre o Plano Hiperbólico 3.5 – Relações Métricas em triângulos hiperbólicos 3.6 – A área de triângulos hiperbólicos.

M33:Teoria de deformação e geometria enumerativa.

1a aula) plano projetivo , estudo de pontos no infinito, cônicas planas. 2a aula) espaço projetivo, o plano no infinito.O que é geometria enumerativa? Quantas retas no espaço se apoiam simultaneamente em 4 retas dadas? Curvas dadas parametricamente. O exemplo das cúbicas reversas. 3a aula) Espaços de parâmetros de objetos geométricos. O P^5 das cônicas. Alguns problemas enumerativos envolvendo cônicas planas.1 cônica por 5 pontos, 2 cônicas por 4 pontos e tangentes à uma reta, etc.4a aula) Geometria enumerativa via teoria de deformação I: Cálculo das 92 cônicas que interceptam simultaneamente 8 retas do espaço. 5a aula) Geometria enumerativa via teoria da deformação II: Cálculo das 80 160 cúbicas reversas que interceptam 12 retas do espaço.

M34:Frações Contínuas: algumas propriedades e aplicações.

Neste curso pretendemos abordar os seguintes tópicos: Frações contínuas: definição; Frações contínuas simples; Expansão de números racionais; Convergentes de frações contínuas simples finitas; Relação de recorrência para os numeradores e denominadores; Fórmula de determinante; Expansão de números irracionais; números irracionais quadráticos ; frações contínuas periódicas;Convergentes de frações contínuas simples infinitas; Teoremas de Convergência;Melhor aproximação; Seqüência de Fibonacci; Expansão de funções em frações contínuas.

M35:Quatro cores e Matemática.

Origem do problema: Francis Guthrie, Frederick Guthrie e seu professor, Augustus De Morgan. Arthur Cayley e o anúncio do problema na London Mathematical Society. Alfred Bray Kempe e sua demonstração. Percy John Heawood, e o equívoco na demonstração de Kempe. O teorema de Heawood: cinco cores são suficientes para colorir qualquer mapa. A natureza topológica do problema das quatro cores. O número de euler para poliedros convexos. Grafos e seus elementos. O teorema de Euler para grafos planares. O grafo dual de um mapa. A natureza combinatória do problema. Circuitos hamiltonianos. Pequena lista de demonstrações incorretas da conjetura das quatro cores, até os anos 1950. A brincadeira de Martin Gardner (1975): o mapa que não era possível colorir com apenas quatro cores. História da controversa demonstração de Kenneth Appel e Wolfgang Haken, com o auxílio de computadores. Implicações filosóficas. Alguns resultados equivalentes ao teorema das quatro cores. Mapas regulares (mapas com todos os vértices tendo valência 3). Um mapa regular é 4-colorável se e somente seu grafo é 3-colorável. Um mapa regular é 4-colorável se e somente se seus vértices podem ser etiquetados com os números +1 e _1, e em cada país a soma desses "pesos" é múltiplo de 3. Brincando com coloração de mapas. Jogos inspirados no problema.

M36:Álgebra Universal Aplicada: Novas Construções em Teoria de Módulos.

1. Noções de Álgebra Universal: Nesta seção é introduzida a noção de bi-estrutura, ou estrutura de dois domínios, e os correspondentes conceitos do homomorfismo e isomorfismo mistos, motivados com diversos exemplos.
2.Noções de Teoria de Módulos: Nesta seção são introduzidos os conceitos e as construções básicos da teoria de módulos, que já aparecem na álgebra linear, como os de “módulo quociente”, “produto cartesiano de módulos”, “módulo livre” e “produto tensorial de módulos”.
3.Construções Mistas em Teoria de Módulos: Nesta seção é definida e construída a forma mais geral do produto cartesiano e do produto tensorial de módulos com anéis de escalares distintos. Para tanto, é necessário generalizar os conceitos de homomorfismo e aplicação bilinear para esses casos.
Sejam M um A-módulo, N um B-módulo e F : M ® N uma função. Se g : A ® B é um homomorfismo de anéis, diremos que F é um g-homomorfismo de módulos se F(x + y) = F(x) + F(y) e F(ax) = g(a)F(x).
Sejam M um A-módulo, N um B-módulo, P um R-módulo e F : MxN ® P uma aplicação. Se g : A ® R e h : B ® R são homomorfismos de anéis, diremos que F é uma aplicação (g , h)-bilinear se F(ax + by , z) = g(a)F(x , z) + g(b)F(y , z) e F(x , ay + bz) = h(a)F(x , y) + h(b)F(x , z).
A partir de ai, o processo de construção e demonstração das propriedades correspondentes é feito por analogia com o caso usual. Para ilustrar mencionaremos o caso do “produto tensorial misto de módulos”.
Sejam M um A-módulo, N um B-módulo e R um anel junto com os homomorfismos de anéis g : A ® R e h : B ® R. Então, um R-produto tensorial de M e N é um R-módulo T junto com uma aplicação (g , h)-bilinear F : MxN ® T tal que satisfaz a seguinte propriedade universal: Para todo S-módulo X, todo homomorfismo de anéis k : R ® S e toda aplicação (kg , kh)-bilinear G : MxN ® X, existe um único k-homomorfismo H : T ® X tal que HF = G.
São provadas a existência e unicidade do produto tensorial misto.

M37:O Teorema de Burnside e Aplicações.

1-Permutações/2-Grupos de permutações/3-Grupos de simetria/4-Ordens de permutações/5-Ações de grupos/6-Colorações/7-Os axiomas de ação de grupos/8-Orbitas/9-Estabilizadores/10-O Teorema de Burnside/11-Aplicações.

M38:Uma introdução sucinta à teoria dos grafos.

A Teoria dos Grafos estuda objetos combinatórios conhecidos como grafos. Muitos problemas sobre grafos tornaram-se célebres porque ocorrem em diversas áreas da matemática, da informática, e em muitas aplicações industriais.
Este mini-curso procurará introduzir a teoria dos grafos examinando quatro problemas intimamente relacionados: os problemas dos conjuntos estáveis,dos emparelhamentos, da coloração de vértices e da coloração de arestas.
Ao longo da discussão desses problemas, procuraremos indicar a relação da teoria dos grafos com ramos clássicos da matemática como a álgebra linear, a álgebra abstrata e a teoria da probabilidade.

M39:Aspectos topológicos na arte concreta.

Introdução aos princípios da arte concreta. Superfícies orientáveis e não orientáveis, exemplos e operações. Representação de superfícies – modelos planos, palavras, operações com palavras. O teorema de classificação das superfícies. Análise topológica da unidade tripartida de Max Bill.

M40:Entropia: Introdução a teoria Matemática da (des)informação.

1-Introdução a probabilidade. 2-Entropia e teoria clássica da informação. 3-Entropia e teoria quântica da informação. 4-Entropia e Mecânica Estatística.

M41:A Harmonia da Álgebra ou a Álgebra da Harmonia. Uma Construção Axiomática da Música.

1) A formação de Acordes como Vetores: 1.1) Notas Musicais da Escala Temperada 1.2) Definição de Acordes 1.3) Notas musicais como base 1.4) Espaço Vetoriais. 1.5) O Espaço das Notas 1.6) O Isomorfismo como IR12 2) Tons: 2.1) A Escala Cromática 2.2) As Escalas Maiores como Subespaços de dimensão 7 2.2.1) Os Acordes da Escala 2.3) As Escalas Pentatônicas: Subespaço do subespaço 2.4) Escalas Diminutas, Escalas de Tons Inteiros. Simetrias 2.5) Mudança de Tons como Transformação Lineares 2.5.1)Definição 2.5.2) Exemplos 3) Alguns Teoremas sobre Harmonia Funcional: 3.1) II-V-I, II-V-Im 3.2) Os Acordes e suas Tensões 3.3) Resoluções 3.4) Subdominantes 3.5) Os Acordes Diminutos e Simetria.

M42:Matemática do Ensino Médio e Olimpíadas Científicas: Uma Experiência no ensino Público.

Programa de Atividades. Aula1-Apresentação do projeto “Matemática do Ensino Médio e Olimpíadas Científicas. Descrição: Relataremos a proposta do projeto, assim como, o proceso de avaliação das dificuldades, os resultados obtidos e os resultados esperados relativos ao mesmo.Responsável: Prof. Krerley Oliveira. Aula2-Atividades desenvolvidas durante o projeto.Descrição: Apresentaremos os mini-cursos e palestras, oferecidos durante o projeto, destacando a importância destes para consolidar e aprofundar os cohecimentos matemáticos adquiridos no ensino médio por parte dos bolsistas.Responsável: Prof. Adán J. Corcho. Aula 3-Trabalho dos Monitores.Descrição: Mostraremos o trabalho realizado por parte dos monitores do projeto na complementação do conteúdo programático do ensino médio, mediante o uso de listas de exercícios.Responsável: Prof. Krerley Oliveira.Aula4-Participação em Olimpíadas de Matemática.Descrição: Discutiremos problemas resolvidos pelos bolsistas do projeto, em Olimpíadas de Matemática, mostrando assim o reflexo positivo das atividades desenvolvidas durante o projeto.Responsável: Prof. Adán J. Corcho. Professores orientadores: Adán José Corcho Fernandez, Posição: Professor Adjunto 1 com Dedicação Exclusiva da Universidade Federal de Alagoas, Titulação: Doutor em Matemática-IMPA, Hilário Alencar da Silva, Posição: Professor Adjunto VI com Dedicação Exclusiva da Universidade Federal de Alagoas, Titulação: Doutor em Matemática-IMPA, José Carlos Almeida de Lima, Posição: Professor Adjunto I com Dedicação Exclusiva da Universidade Federal de Alagoas.

M43:Professor, por que isto é verdade? (As demonstrações na Matemática: importância e técnicas).

Como algo é verdadeiro na Matemática? Por que acreditar naquilo que nos afirmam? Proposições Matemáticas; O que é um teorema? A tristeza de vê-los esquecidos em livros e sala de aulas do Ensino Médio; Até que ponto podemos reverter esta situação? Como se pode apresentar um teorema? (forma condicional, implicativa e equivalente); Modelos Axiomáticos – sua im